Аксиоматика векторного пространства .

§7. Элементы тригонометрии

§7.1. Билинейная кососимметричная функция

Определение 19.1. Если каждым двум векторам и ставится в
соответствие каждое действительное число такое, что:

1) ;
2) ;
3) .
то функция называется билинейной кососимметрической функцией.
Теорема 19.1. Пусть и – произвольная база плоскости и
– некоторое действительное число. Тогда существует одна и только одна
кососимметрическая функция такая, что:
.
Доказательство:
Пусть в заданном базисе два произвольных вектора и имеют
разложения:

Составим функцию
(1)
Нетрудно проверить, что билинейная кососимметрическая функция,
причем, если , то
.
Доказательства единственности. (методом от противного).

Допустим, что существует билинейная кососимметрическая функция

, такая, что .
Если – билинейная функция, то
= =
= =
= .
Учитывая, что , получим .
Аналогично . Кроме того, . Тогда

По предположению . Поэтому:
(2)
Из (1) и (2) следует, что .
Примечание. Из проведенного рассуждения видно, что какое бы число
мы ни взяли и какую бы мы ни взяли базу векторов и ,
существует единственная билинейная кососимметрическая функция такая,
что .
Это обстоятельство говорит, что с помощью кососимметрической функции
нельзя отличить ортонормированную базу от прочих. На этот счет требуется
специальное соглашение. Договоримся, если база ортонормированная, то будем
полагать .
Определение 19.2. Пусть – два произвольных единичных вектора.
Значение билинейной кососимметрической функции при выбранном
ортонормированном базисе , и выполнении соглашения
называется синусом угла между векторами и .
Итак,

В иной форме:

Теорема 19.2. или . На основании определения 19.2. имеем:
.
Отсюда,. Докажем достаточность. Пусть , где .
Докажем, что .
В силу определения 19.2. имеем:

Теорема 19.3. .

Доказательство:

Пусть – единичные векторы и .

Имеем:

,
Тогда

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13