Аксиоматика векторного пространства .

§2. Следствие из аксиом векторного пространства

Из аксиом I-X можно вывести целый ряд предложений.
Теорема 2.1. Существует единственный нулевой вектор.
Доказательство:
Предложим, что существует два различных вектора и таких,
что и для любого вектора .
Положим . Тогда
и (1)
Положим теперь . Аналогично получим:
и (2)
Так как (по аксиоме II), то из (1) и (2) следует, что .
Таким образом, векторное пространство содержит единственный вектор
, удовлетворяющий равенству .
Теорема 2.2. Для любого вектора существует единственный
противоположный вектор .
Или:
и
Доказательство:
Допустим, что и и , т.е. существует , имеющий
два различных противоположных вектора и .
и (1)
(2)
Тогда
и (3)
Левые части равенств (3) равны между собой. Действительно:
(4)
Из равенства (3) и (4) следует, что .
Теорема 2.3. Для любых векторов и существует единственный
вектор , такой, что .
Доказательство:
I. Существование. Убедимся, что в качестве вектора можно будет
выбрать вектор . В самом деле,

Таким образом, для векторов и существует вектор ,
удовлетворяющий равенству:
.
II. Единственность (от противного). Пусть
и (1)
Тогда:

Отсюда . Получим противоречие с допущением. Таким образом,
единственность вектора доказана.
Определение 2.1. Вектор, удовлетворяющий равенству ,
называется разностью векторов и , и обозначается через -
.
Таким образом

Теорема 2.3., как видно, вводит на множестве v новую операцию "–":

называемую вычитанием, которая является обратной по отношению к операции
сложения.
Следствие 1.
Теорема 2.4.
Доказательство:
, т.к. - вектор, противоположный вектору . Тогда
Ч.т.д.
Теорема 2.5.
Доказательство:
Имеем:
;
Отсюда следует, что .
Ч.т.д.
Теорема 2.6. .
Доказательство:
Имеем:

Отсюда следует, что .
Теорема 2.7.
Доказательство:
Имеем:
(по Теореме 2.6.)
Отсюда следует, что .
Следствие 2. .
Теорема 2.8. или .
Доказательство:
Возможны два случая:
I. и
II. .
I. Если , то дизъюнкция или истинна и теорема доказана.
II. Пусть . Тогда существует число , отсюда имеем:
(по условию Т. 2.5.) ,
(по Т. 2.5.) .
Таким образом, в случае II имеем, что .
Итак, если , то или .
Теорема 2.9. .
Доказательство:
Для того, чтобы установить, что вектор является противоположным
для вектора , необходимо и достаточно проверить, выполняется ли
следующее равенство:
, или все равно, что .
Имеем:

Таким образом или . И, следовательно, .
Рассмотренные свойства операций над векторами аналогичны
соответствующим свойствам арифметических операций над числом. Так,
например, сумма конечного числа векторов, как и сумма в любой
коммуникативной группе, не зависит ни от порядка слагаемых в этой сумме, ни
от способа расстановки скобок:
и т.д.
Однако между векторной и числовой алгеброй существуют серьезные
отличия. Одно из наиболее существенных отличий состоит в том, что множество
векторов не является упорядоченным, т.е. для векторов нельзя ввести
отношение «меньше» и «больше». Например для двух противоположных чисел
и мы знаем, что и, что одно из этих двух чисел больше 0,
а другое – меньше 0. Для векторов же, удовлетворяющих равенству ,
постановка вопроса о том, какой из векторов или больше
нулевого, а какой меньше нулевого, бессмысленна.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13