Аксиоматика векторного пространства .

Глава 1
§1. Аксиоматика векторного пространства

Характеризация векторного пространства, как математической структуры
осуществляются рядом аксиом.
Основные понятия теории: "вектор", "сумма двух векторов",
"произведение вектора на действительное число".
Косвенным определением основных понятий теории векторного
пространства являются следующие аксиомы:
I. Для любых векторов и существует единственный третий
вектор , называемый их суммой

Таким образом аксиома I постулирует:
а) единственность этой суммы.
б) существование суммы двух векторов и ;
Данная аксиома вводит на множестве векторов V операцию
f1: V x V ( V.
которая называется сложением двух векторов.
II. Сложение векторов коммутативно, т.е.
.
III. Сложение векторов ассоциативно, т.е.

IV. Существует вектор такой, что для любого вектора,
т.е.

Определение 1.1. Вектор , удовлетворяющий аксиоме IV, называется
нулевым вектором и обозначается
V. Для каждого вектора существует такой вектор , что
+=

Определение 1.2. Вектор , удовлетворяющий аксиоме V, называется
противоположным вектору .
VI. Для любого вектора и действительно числа , существует
единственный вектор , называемый произведением вектора на число
и обозначаемый т.о.: , т.е.
, ,
Данная аксиома вводит операция нового типа (внешнюю операцию):

Эта операция носит название «умножение вектора на число».
VII. Для любого вектора умножение вектора на 1 не
изменяет вектора , т.е.
,
VIII. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е.
, ,
IX. Умножение вектора на число дистрибутивно сложения чисел, т.е.
, ,
X. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения
векторов, т.е.
, ,
Этим заканчивается аксиоматика векторного пространства, которое можно
теперь определить т.о.:
множество V с введенными двумя операциями

,
подчиняющееся аксиомам I-X, называется векторным пространством над полем
действительных чисел R.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13