Аксиоматика векторного пространства .


      Задача. Каждое ребро призмы ABCA1B1С1 равно 2.

Точки М и N – середины ребер АВ и A1А.  Найти  расстояние  от  точки  М  до
прямой CN, если известно, что угол A1AС  paвeн  60°  и  прямые   A1A  и  АВ
перпендикулярны.
                                  Решение.
      Рассмотрим базис, состоящий из векторов , ,  и составим
таблицу умножения для этих векторов.
|*   |а     |b     |с     |
|а   |4     |0     |2     |
|b   |0     |4     |2     |
|с   |2     |2     |4     |

      Расстояние от точки М до прямой CN равно расстоянию от точки М до её
проекции на прямую CN.
      Пусть Р – проекция точки М на прямую CN.
                                 Тогда 
для некоторого числа х.
Так как  и ,


      Поскольку прямые  и  перпендикулярны, то  т.е.
                                   .

      Раскрывая скобки и пользуясь таблицей умножения для нашего базиса,
получаем: .

      Тогда .

Искомое расстояние  равно

                                    
      Снова раскрывая скобки и пользуясь таблицей умножения, находим  .
Таким образом, расстояние от точки М до прямой  равно .

      Ответ : расстояние равно .

                            у 6
      Задача. В параллелограмма ABCD точка К – середина стороны ВС, а  точка
М – середина стороны CD. Найдите AD, если АК = 6, АМ = 3, угол КАМ = 60°.
                                  Решение.
      В качестве базиса выберем векторы  и    и  составим  таблицу
умножения для векторов этого базиса.

      |*     |k     |m     |
|k     |36    |9     |
|m     |9     |9     |
      По формуле треугольника  и  .
      Так как X – середина ВС, М – середина CD, то  и , и получаем
систему:
       , откуда



Ответ: 4.
      Задача.  Ребра  СА,  СВ,  СС,  треугольной  призмы  ABCA1В1С1   равны,
соответственно 2,  3  и  4  образуют  между  собой  углы  ACB  =  90°,
ACС1 = 45° и BCC1 = 60°. Найдите объём призмы.


                                  Решение.

        Пусть отрезок С1О является высотой данной призмы. Тогда 

      Для того, чтобы найти высоту С1О, выберем в качестве базиса векторы
 и составим
таблицу умножения.
|*      |  |  |  |
|  |4      |0      |  |
|  |0      |9      |6      |
|  |  |6      |16     |


       Разложим вектор C1O по векторам . Получим: , где , а
.

      Таким образом .
      Коэффициенты х, у находим из условий перпендикулярности вектора C1O с
векторами .
    .
      Следовательно, 

      Значит С1О = 
      Тогда V = 3·C1O = 3·2 = 6
      Ответ: 6.

  С помощью векторов можно решать не  только  геометрические  задачи,  но  и
  доказывать алгебраические неравенства.

      I. Доказать неравенство 

                               Доказательство:
      Рассмотрим векторы  и .
      Их скалярное произведение 
      Так как ,  , то, учитывая неравенство , получим .
      II. Докажем, что для любых неотрицательных чисел a, b,  c  справедливо
неравенство:
                                    
                               Доказательство:

            Рассмотрим векторы  и  .  Их  скалярное  произведение:
  , а длины  и . Отсюда, учитывая неравенство , получаем


                                   .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13