Аксиоматика векторного пространства .

§6. Аксиоматика точечно-векторного евклидова пространства

§6.1. Метрические соотношения в треугольнике

Теорема 18.5. (теорема косинусов для треугольника).

Во всяком треугольнике

Доказательство:
Рассмотрим векторное равенство . Возьмем скалярный квадрат:
,
,
.
Пусть - единичный вектор, отложенный от точка А на луче [АВ),
- единичный вектор, отложенный от точки А на луче [АС). Тогда
.
Отсюда
,

.
Аналогично устанавливаются остальные две формулы теоремы косинусов
для треугольника.
Следствие. В треугольнике две стороны конгруэнтны тогда и только
тогда, когда лежащие против них углы конгруэнтны.
Доказательство:
I. Пусть . Докажем, что .
Имеем
.
II. Пусть . Докажем, что . Выполним следующие
преобразования
– ,

,
,
,
.
Докажем, что ; то ;
, но для треугольника .
Таким образом,
.

Теорема 18.6.
, (1)
(2)
(3)
Доказательство:
Докажем равенство (1). Рассмотрим равенство: . Умножим его
скалярно на :
, или так как , то
, или
, это и есть равенство (1).
Аналогично устанавливается остальные соотношения.
Следствие 2. Если один из углов в треугольнике тупой, то два других
острые.
Доказательство:
Пусть – прямой, то есть .
Имеем:
,
.
Тогда:
– острый,
– острый.
Следствие 3. В треугольнике более одного тупого угла быть не может.
Доказательство:
Пусть – тупой угол, то есть .
Тогда – острый.
Аналогично устанавливается, что – острый.
Определение 18.6. Треугольник называется прямоугольным, если он имеет
прямой угол.
Теорема 18.7. (теорема Пифагора). Если в – прямой, то
.
Доказательство:
Имеем: .
Так как – прямой, то .
Тогда .
Теорема 18.8. (обратная теорема 18.7). Если в , то этот
треугольник прямоугольный.
Доказательство получается в результате проведения предыдущих
рассуждений в обратном порядке.
Следствие 4. В прямоугольном треугольнике каждый катет меньше
гипотенузы.
Доказательство:
Пусть , тогда имеем:
,
.
Так как углы С и В острые, то и .
Отсюда и .

-----------------------

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13