Ķą
Ćėąāķóž
ĆÄĒ:
Ąķćėčéńźčé
˙ēūź Ąėćåįšą Ćåīģåņšč˙ Ōčēčźą Õčģč˙ Šóńńźčé
˙ēūź Ķåģåöźčé
˙ēūź
Ļīäćīņīāźą ź żźēąģåķąģ (ÅĆŻ) Ļšīćšąģģū č ļīńīįč˙ Źšąņźīå ńīäåšęąķčå Īķėąéķ ó÷åįķčźč
Ųļąšćąėźč Šåōåšąņū Ńī÷čķåķč˙ Żķöčźėīļåäčč Ņīļčźč ń ļåšåāīäąģč
Āńå ņåģū:"Šåōåšąņū ļī Ōčēčźå"
Šåōåšąņ ķą żńņīķńźīģ ļī ōčēčźå - įčīōčēčźą 6
Füüsika: sissejuhatus.
Füüsika on teadus kehade vastasmõjudest ja nendest põhjustatud
liikumistest. Kehade vastasmõju avaldub jõuväljana.
“Keha” tunneme sellest, et tal on olemas mass, mis väljendub likumise
inertsi ja gravitatsioonina. Kehal võib olla ka elektrilaeng, mis väljendub
vastasmõjus teise laetud kehaga elektrivälja kaudu. Kõige elementaarsemad
kehad on näiteks elektron ja prooton, mis moodustavad aatomid. Aatomitest
moodustuvad molekulid. Suuremad kehad koosnevad omavahel seotud paljudest
aatomitest või molekulidest. Paljuaatomilised kehad võivad olla tahked,
vedelad või gaasilised, sõltuvalt jõudude tugevusest, mis aatomeid
(molekule) seovad. Kehad mõjutavad üksteis kaugelt, jõuväljade kaudu.
Keha “jõuväli” on kõikjal tema ümber ruumis, kuni lõpmatu kaugele.
Jõuväljas asuvale teisele kehale mõjub jõud, aga samuti mõjub jõud teise
keha jõuväljas asuvale esimesele kehale. Nii mõjutavadki kehad üksteist
kaugelt jõuväljade kaudu. Kaugmõju väljade kaudu on ainus kehade
vastastikune mõju looduses. Gravitatsiooniline kaugmõju on silmaga nähtav
universumi ehituses, elektromagnetiline kaugmõju aga domineerib aatomite ja
molekulide vahel, sealhulgas ka siis, kui kehad “silmnähtavalt” kokku
puutuvad. Niisugust nähtust nagu “kokkupuutumine” ei ole olemas. Kehad ei
puutu kunagi tegelikult kokku, maksimaalses läheduses aatomite välised
elektronkihid satuvad lähestikku ja negatiivsed laengud tõukuvad üksteise
jõuväljas, takistades kehade edasist lähenemist. Kui jätame kõrvale
tuumasisesed jõud, siis need kaks, gravitatsiooniline ja
elektromagnetiline, ongi ainsamad jõud, mis määravad aatomite ja molekulide
paigutuse kehades ja kehade paigutuse kosmilises ruumis, seega kogu looduse
ehituse.
Käesolevas kursuses püüamegi muuta loodust mõistetavamaks tema
atomaarse-molekulaarse struktuuri kaudu. Kogu looduse struktuur alates
aatomitest ja lõpetades universumiga, kaasa arvatud eluslooduse struktuur,
saab mõistetavaks kui tunneme füüsikaseadusi, mis määravad kehade võimaliku
asendi üksteise jõuväljades. Suhteliselt väike arv põhilisi füüsikaseadusi
määrab elektronide paigutuse aatomis, aatomite paigutuse molekulis,
molekulide paigutuse kehas. Selge, et elementaarkehade arvu suurenedes
nende vastastikune mõju muutub väga keeruliseks ja seda analüüsida ei ole
lihtne. Füüsika on võimeline detailselt kirjeldama vaid suhteliselt
lihtsaid struktuure, keerukamate puhul tuleb rakendada loogilise
ekstrapolatsiooni meetodit, püüdes ette kujutada, kuidas lihtsaid
struktuure valitsevad seadused kombineeruvad keerukamates struktuurides.
See ongi mõttetegevus, mõtlemine, mida ootan bioloogidelt kui nad asuvad
rakendama käesolevas kursuses omandatut oma erialal.
Füüsikat peetakse tavaliselt matemaatiliseks teaduseks, mis tihtipeale
põhjustab hirmu. See ei ole aga nii. Matemaatiline on vaid üks teadus –
matemaatika. Loodusteadusi, kaasa-arvatud füüsikat, on võimalik, isegi
ainuvõimalik, mõista ilma matemaatikat rakendamata. Matemaatiline valemite
keel on rakendatav lihtsate seoste lühidaks kirjeldamiseks. Näiteks teades,
et auto läheneb kiirusega 50 km/h ja asub praegu minust 50 m kaugusel saan
ma arvutada, et ta jõuab minuni t=s/v=50/(50x1000/3600)=3.6 sekundi pärast.
Teades, et ma kõnnin kiirusega 5 km/h kulub mul 10 m laiuse tänava
ületamiseks 10/(5x1000/3600)=7.2 s. Ilmselt ei ole otstarbekas
tänavaületamist alustada, sest jään auto alla just tee keskpaigas. Kas ma
aga tänaval seistes teen need arvutused? Kindlasti mitte, vaid ma kujtlen,
kuidas auto jätkab oma liikumist, kuidas mina astuks üle tee ja ma näen
“vaimusilmaga”, kuidas auto sõidaks mulle peale. Niisugune kujutlemine on
välismaailma modelleerimine mõttes, see ongi mõtlemine. Füüsika täilelikuks
mõistmiseks ei tohi mitte valemeid ega konspektilehtedel asetsevaid lauseid
endale vaimusilma ette manada, vaid protsesse, kehasid ja nende liikumisi.
Ei ole suur häda, kui te aatomit või molekuli kujutlete teistsugusena kui
ta tegelikult on, suurem on häda kui te teda üldse ette ei kujuta. Selge,
et suure hulga aatomite-molekulide liikumise ette kujutamine võib olla
raske, aga veel raskem oleks nende matemaatiline kirjeldamine. Näiteks
kvantmehaaniliselt on lahendatud vaid kahe keha vastasmõju probleem. Kolme
või rohkema keha puhul tuleb juba kasutada mitmesuguseid lähendusvõtteid,
milles matemaatika ja loogiline ettekujutus põimuvad. Niisiis, asjade
mõistmiseks tuleb just neidsamu asju modelleerida, ette kujutada, mitte aga
meelde tuletada valemeid või lauseid, mis nende kohta käivad. Siit tulebki
vahe mõistete “tean” ja “mõistan” vahel. “Teatakse” fakte. Tüüpiline näide
on siin mälumängurite kiired vastused Jeopardy turniiril. Mnemoturniiril
aga antakse aega, ja ilus on pealtkuulata, kuidas loogilise arutelu,
mõtlemise teel jõutakse õige vastuseni ka siis, kui seda keegi osavõtjatest
alguses ei tea. Vastus, mida ei teata, mõeldakse välja. Õige vastuse
väljamõtlemine igal elujuhtumil ongi asjade mõistmise tunnus. Füüsikas on
heaks mõistmise kontrolliks ülesannete lahendamine. Ilma ülesandeid
lahendamata ei ole te seda füüsikakursust kindlasti mitte mõistnud.
Mõistmise ja teadmise dialektika on tihedalt seotud teoreetilise ja
eksperimentaalse teaduse dialektikaga.
Eksperiment ja teooria teaduses.
Me saame oma teadmised loodusest vaatluste ja eksperimentide
tulemustena. Vaatlused, näiteks astronoomilised või ökoloogilised, on
looduses iseenesest toimuvate protsesside passivne registreerimine,
jälgimine. Eksperiment (katse) on aktiivne vahelesegamine looduslikesse
protsessidesse tahtlikult muutes nende toimumise tingimusi. Eksperiment ja
vaatlus annab meile teadmise, mis toimub teatud objektidega teatud
tingimustes. Näiteks saame teada, et teatud täht kiirgab mingi
intensiivsusega ja mingi spektraaljaotusega valgust, või et bakterirakk
kasvab mingi kiirusega. Need on faktid, mis iseloomustavad ainult ja ainult
seda konkreetset situatsiooni milles katse või vaatlus tehti. Kui aga on
tarvis teada, millal see täht (näit. meie Päike) plahvatab supernoovana või
kui sageli bakterirakk pooldub, siis nendest katsetest vastust ei saa.
Kuigi bakterite paljunemise kohta saaks ju teha vastava katse, siis Päikese
plahvatuse puhul oleks seda hilja vaadelda. Kui me oleme tõepoolest
mõistnud tähe evolutsiooni ja raku elutsüklit, siis peaksime olema
võimelised teoreetiliselt ette ennustama nii pooldumist kui plahvatust.
Ennustada saab teooria baasil, ekstrapoleerides seda kas ainult loogilise
mudeli või siis ka matemaatilise mudeli abil. Teooria ongi tegelikult
loodusliku protsessi peegeldus, selle mudel meie mõtlemises. Teooria on
tunnetuse, mõistmise täiuslikem etapp. Kuidas aga tekib teooria meie
käsutuses olevate vaatlustulemuste kaudu?
Vaatlused ja eksperimendid esitavad tulemustena teatud fakte, mis on
tõesed olukordade tarvis, milles need saadi. Peaks tegema lõpmatu palju
eksperimente, et saada vastused mõeldavate olukordade kohta, ja ikka jääks
veel lõpmatu palju olukordi, mille kohta eksperimenti tehtud ei ole.
Ülaltoodud näites autoga tähendaks niisugune empiiriline lähenemine seda,
et auto asukoht tuleks mõõta igal ajahetkel, sest ilma teooriata kuidagi ei
saa ju teada, kus ta saab asuma järgmise sekundi, kümnendiku, sajandiku jne
pärast. Kui meil on aga teooria, et auto liigub ühtlaselt ja
sirgjooneliselt kiirusega 50 km/h, siis saame kindlusega ette ennustada,
kus ta saab asuma näiteks 3.6 sekundi pärast. Kuidas tekkis aga ühtlase ja
sirgjoonelise liikumise teoreetiline ettekujutus, kas selleks tehti lõpmatu
palju mõõtmisi ja siis üldistati? Ei, oli vaja mõõta keha asukoht ja aeg
ainult kolmes punktis ja avastada seaduspärasus, et võrdsete teepikkuste
läbimiseks kulus võrdne aeg. Seda seaduspärasust aga mõõtmistulemused meile
ette ei ütle, see tuleb endal avastada tulemusi analüüsides. Siin avaldubki
eksperimentaalse ja teoreetilise teadusliku tunnetuse dialektika: ühelt
poolt baseerub teooria eksperimentide tulemustel, teiselt poolt ei ole
olemas reeglit ega seadustpära, mille järgi eksperimentide tulemuste põhjal
luua teooria. Teooria on niisugune loogiline (matemaatiline) protsessi
mudel, mis rahuldab kõiki olemasolevaid eksperimenditulemusi. Teooriat võib
luua ka siis, kui on olemas kas või üksainus eksperiment, aga tavaliselt ei
ole see teooria siis võimeline rahuldama teise eksperimendi tulemust (ei
lange sellega kokku). Mida rohkem on eksperimente, mida antud teooria
rahuldab, seda tõenäosem on, et ta rahuldab ka uusi, veel tegemata
eksperimente, seega, on võimeline tulemusi õigesti ette ennustama. Teooria,
mis rahuldab paljude eksperimentide tulemusi, ei tulene aga üldse nendest
eksperimentidest, vaid on omaette sõltumatu loogiline mudel, mis sünnib
mõttetöö tulemusena. Tavaliselt arvatakse, et teadlastel on mingi eriline
intuitsioon, mis aitab neil leida õiget teooriat. Näiteks, kuidas küll
Mendelejev taipas, et elemendid grupeeruvad perioodiliselt kaheksa kaupa?
Kuidas küll Einstein tuli mõttele, et kahe liikuva keha kiiruste liitumisel
summaarne kiirus ei saa ületada valguse kiirust? Darwin nägi ainult liikide
lõputut mitmekesisust, kuid kuidas ta seletas seda loodusliku valiku
tulemusena? Tegelikult ei ole mingit erilist intuitsiooni, vaid lõputu
pingeline mõttetöö. Tuleb läbi mõelda ja loogiliselt käivitada palju
erinevaid mudeleid, millest suurem osa ei rahulda mõnda eksperimenti ja
tuleb seega kõrvale heita, kuni leitakse üks või isegi mitu mudelit, mis
rahuldavad kõiki teadaolevaid eksperimente. Muide, mõne teooria loomise
puhul on juhtunud, et üks või paar eksperimenti kangekaelselt ei sobi
sellesse, sel ajal kui ülejäänud kõik sobivad. Siis võib tõsta ka küsimuse
nende eksperimentide korrektsuse kohta. Siit tuleneb veel üks tagasiside
eksperimendi ja teooria vahel: eksperiment ei ole mitte ainult alus teooria
kontrolliks, vaid teooria võib kontrollida ka eksperimendi korrektsust.
Muidugi, nii nagu malemängugi puhul, head mängijad ei vaagi kaugeltki kõiki
võimalikke käike vaid valivad kiiresti kõige perspektiivikamad, sellega
kompuutermaletajast erinedes, niisamuti head teadlased ei vaagi kaugeltki
mitte kõiki võimalikke teooria variante vaid valivad kiiresti
perspektiivikamad. Selles ehk väljendubki “intuitsioon”, mis tegelikult on
kogemus ja eelteadmised.
Matemaatiline ja loogiline teooria
Teooria on maailmapilt, mis käivitub meie mõtlemises. Mõtlemise tugev
külg on suhteliselt keerukate süsteemide kiire kvalitatiivne analüüs. Kui
hinnata tuleb aga kvantitatiivseid suurusi, siis jääb mõtlemine üsna varsti
jänni ja kutsub appi matemaatika. Matemaatilised valemid ei ole midagi muud
kui lühidalt kirjapandud reeglid numbriliste suurustega opereerimiseks,
seega kvantitatiivseks mudeli (teooria) analüüsiks. Ühe ja sellesama
valemiga võib kirjeldada väga erinevaid protsesse, mis on oma käitumiselt
sarnased, kuigi sisult täiesti erinevad. Seega on vajalike matemaatiliste
valemite arv tunduvalt väiksem kui analüüsitavate protsesside arv. Vaatleme
järgnevas peamisi matemaatiliste avaldiste tüüpe, mis kursuses
käsitletavate füüsikaliste protsesside analüüsil ette võivad tulla.
Funktsioonid
Funktsioon on matemaatiline seos mitme suuruse vahel, mille järgi saab
arvutada tundmatu suuruse (nimetatakse ka funktsiooniks, y) väärtuse kui
argumentide xi väärtused on teada:, kus f tähistab mingit
matemaatilist arvutusreeglit (tehteid ja nende kombinatsioone). Lihtsaim on
ühe muutuja funktsioon . Levinuim astmefunktsioon on lineaarne (sirge)
ehk esimese astme sõltuvus:, kus a on mingi algseis millest protsess
algab ja b tähistab y kasvu suhtelist kiirust võrreldes x kasvuga, näit.
läbikäidud tee sõltuvus ajast, voolutugevuse sõltuvus pingest, veevoolu
sõltuvus rõhkude vahest, difusioonivoo kiiruse sõltuvus kontsentratsioonide
vahest; lineaarfunktsiooni erijuht on proportsionaalne sõltuvus, kus a = 0
ja mõlemad, nii x kui y alustavad muutumist nullist. Teise astme funktsioon
on ruutsõltuvus, mis võib sisaldada osana ka lineaarsõltuvust, kuid
lihtsuse mõttes jätame selle praegu välja: näit. pindala sõltuvus
lineaarmõõdust (ringil raadiusest või ruudul küljest), kineetilise energia
sõltuvus kiirusest. Kolmanda astme funktsioon ehk kuupsõltuvus, näit.
ruumala sõltuvus lineaarmõõdust, nagu kera ruumala sõltuvus raadiusest,
kuubi ruumala sõltuvus külje pikkusest. Ka pöördvõrdeline sõltuvus on
astmefunktsioon: , näit. voolukiiruse sõltuvus takistusest,
liikumiseks kulutatud aja sõltuvus teepikkusest. Pöördvõrdelise
ruutsõltuvuse näiteks on , näit. punktikujulise laengu või massi
elektri- või gravitatsioonivälja tugevuse sõltuvus kaugusest keskpunktist.
Oluline funktsioon on eksponentsiaalne sõltuvus. Positiivne eksponent
kirjeldab näit. bakterikoloonia kasvu ajas, kapitali suurenemist
firmas. Negatiivne eksponent kirjeldab näit. radioaktiivselt
lagunevate tuumade arvu, valguskvantide arvu vähenemist neelavat keskkonda
läbides, kondensaatori laeng tühjenemist läbi takisti, edukate üliõpilaste
arvu kahanemist õppeaja jooksul.
Joonistada graafikud.
Diferentsiaalvõrrandid
Diferentsiaalvõrrandid on matemaatilised seosed mitte suuruste eneste, vaid
nende muutuste vahel. Näiteks võiks olla ühtlaselt kiireneval liikumisel
läbitud teepikkus. Liikumisel kiirusega v on igas lõpmatu lühikeses
ajavahemikus dt läbitud teepikkus . Kui kiirus v on konstant, siis
niisugune võrrand laheneb lihtsalt: ehk , kus s0 tähistab
liikumise alguspunkti. Esimest järku diferentsiaalvõrrand annab lahendina
funktsiooni (s) muutuse, kuid ei ole teada, millisest algpunktist muutumist
alustati. Integreerimiskonstant s0 näitabki, et sealt alustati liikumist ja
s on siis lõpp-punkti tegelik asukoht. Veidi keerukam on juht kui
integreeritav suurus, antud juhul kiirus v, ei ole konstantne, vaid muutub
koos ajaga, näiteks kui on tegemist ühtlaselt kiirineva liikumisega .
Sel juhul ja integreerides saame . Astmefunktsiooni
integreerimise reeglid toome allpool.
Väga tihti on tegu järgmise diferentsiaalvõrrandiga, mis baseerub
teadmisel, et suuruse A muutumise kiirus (ajas) on võrdeline suuruse A
enesega. Nii on see näit. vedeliku väljavoolamisel reservuaarist,
elektimahtuvuse tühjenemisel, radioaktiivse aine lagunemisel,
valguskvantide liikumisel läbi neelava aine, kus
;
Siit edasi
ja ning integreerides saame ja ,
millest
Nagu panite tähele, integreerimiskonstant kirjutati seekord logaritmi
kujul, lnA0 , et muutuse alguspunkt viia sisse suhtena, mitte vahena lõpp-
punkti suhtes. Viimase valemi võib kirjutada ka kujul
.
kus ?=1/k. Need valemid kujutavad eksponentsiaalseid protsesse ja ? on nn.
eksponendi tegur (antud juhul ajategur), k aga on kiiruskonstant. Aja ?
möödudes on eksponentsiaalselt kahanev protsess vähenenud suhtes e-1=0.368.
Kahe ajateguri möödudes e-2 = 0.135 ja e-3=0.050. Seega, eksponentsiaalsete
protsesside praktilise lõppemiseni kulub vähemalt 3? kuni 5?.
Kui diferentsiaalvõrrand näitab, et suurus mitte ei kahane, vaid
kasvab iseendaga võrdeliselt, saame samasuguse eksponentsiaalse lahendi,
aga positiivse astendajaga. Nii kirjeldub näiteks populatsiooni (bakterite
koloonia) kasv, taime kasv, majanduse (kapitali) kasv etc. Aja t asemel
võib esineda ka teepikkus, näiteks kui valguskvandid läbivad neelavat ainet
või juhuslikult asetatud neelavaid objekte (taimkatte lehestik). Siis
konstant k näitab valguse (või radioaktiivse kiirguse) nõrgenemist
teepikkuse ühiku kohta.
Joonistada eksponentsiaalsete muutuste graafikud.
Kui esimest järku diferentsiaalvõrrand sidus omavahel argumendi ja
funktsiooni muutumise kiirusi (esimest järku tuletisi), siis teist järku
diferentsiaalvõrrand seob omavahel argumendi ja funktsiooni muutumise
muutumise kiirusi (teist järku tuletisi). Teist järku diferentsiaalvõrrandi
näiteks on võnkumiste võrrand, mis baseerub teadmisel, et pendlit (või
vedru) tagasitõmbav jõud on võrdeline hälbega tasakaaluseisust A. Kuna jõud
põhjustab kiirenduse, ehk kiiruse muutumise, siis väidab see võrrand, et
võnkuva massi kiiruse muutumise kiirus (kiirendus) on võrdeline hälbega
tasakaaluseisust ja suunatud tasakaaluseisu poole:
Selle võrrandi lahend on siinusfunktsioon, näiteks pendli võnkumine või
murdja-ohvri populatsiooni võnkuv olek (Volterra võrrand). Lahendist
nähtub, et periood ? väljendub järgmiselt:
ehk
Selleks, et määrata, missuguses siinuse punktis asub lahend teatud
ajahetkel, on lisaks võrrandi lahendiks olevale siinusfunktsioonile tarvis
teada juba kahte algtingimust: algkoordinaati, millest liikumine algab ja
liikumise algsuunda, kas tasakaalupunkti poole või sellest eemale.
INTEGRAALID
Ülaltoodud diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks pidime integreerima
funktsiooni, mis määras seose diferentsiaalide (väikeste muutuste) vahel.
Näiteks kui keha alustab liikumist nullkiirusest ja liigub ühtlaselt
kiirenevalt kiirendusega a m s-2 , siis aja möödudes tema kiirus on v(t)
=at (tähistus v(t) tähendab, et suurus v on aja t funktsioon). Selleks, et
leida aga, kui kaugele keha jõudis sellesama aja t jooksul, ei saa lihtsalt
lõppkiirust ajaga korrutada, vaid tuleb arvestada, et igal ajahetkel oli
keha kiirus erinev. Võib eeldada, et iga väga lühikese ajavahemiku dt
jooksul läbitud teepikkus . Keha asukoha muutuse leidmiseks pika
ajavahemiku t2-t1 jooksul tuleb kasutada integraali: ehk antud juhul
Integraali on lihtne leida kui v(t) on astmefunktsioon (antud juhul esimese
astme funktsioon). Reegel on järgmine:
, näiteks kui v=at siis . Veel näiteid: ; ;
Aga peame meeles et ja
Määramatud ja määratud integraalid
Ülaltoodud reeglid võimaldavad leida integraali funktsionaalse kuju,
kuid selle tegeliku väärtuse arvutamiseks tuleb teada, missugusest
integreeritava funktsiooni väärtusest summeerimist alustati ja missuguse
väärtuse juures lõpetati. Pöördume kiireneva liikumise näite juurde tagasi
ja küsime, kui pika tee läbis keha alates ajahetkest t1 ja lõpetaes
ajahetkega t2? Seda arvutatakse nii, et leitakse määramatu integraali
väärtus ülemisel rajal t2 ja lahutatakse sellest määramatu integraali
väärtus alumisel rajal t1:
Kui t1=0 siis iga aja t jaoks, sest x1=0.
Kursuse jooksul kasutame integreerimist lisaks ebaühtlase kiirusega
liikumisel läbitava teepikkuse arvutamisele veel näiteks aatomituuma
ümbritseva elektrivälja potentsiaalse energia arvutamiseks ja gaasi
paisumisel tehtava töö arvutamiseks.
Kinemaatika põhimõisted
Nagu öeldud, füüsika on teadus mis käsitleb kehade liikumist. Selleks aga
tuleb defineerida liikumist kirjeldavad suurused ehk parameetrid, mis on:
asukoht (koordinaadid), kiirus, kiirendus.
Asukoht (koodinaadid).
Keha asendi ja selle muutuste (liikumise) kvantitatiivseks kirjeldamiseks
kasutatakse ruumikoordinaate. Koordinaadid on arvud, mis määravad keha
kauguse mingitest kindlaksmääratud kohtaest, koordinaat-telgedest.
Kolmemõõtmelises ruumis on asendi mäaramiseks vajalik kolm arvu
(koordinaati), kahemõõtmelises (tasapinnal) kaks ja ühemõõtmelises (joonel)
uksainus arv. Analoogiat edasi arendades saab ette kujutada ka enama kui
kolemõõtmelisi ruume, näiteks võttes neljanda mõõtmena kasutusele aja, aga
kui tarvis, veel teisi muutuvaid parameetreid. Sejuures on tähtis, et
juurdetoodavad muutujad ei oleks seoste kaudu tuletatavad olemasolevatest,
vaid oleksid täiesti sõltumatud, ortogonaalsed (piltlikult oleksid kõik
teljed üksteisega risti, kuigi neid võib olle palju rohkem kui kolm).
Kõige sagedamini kasutatav koordinaat-teljestik on sirgete
ristiolevate telgedega nn. ristkoordid e. Cartesiuse koordinaadid. Selles
teljestikus määratakse keha asukoht kolme kauguse kaudu: esiteks liikudes
piki x-telge, siis ristisuunas piki y-telge ja lõpuks ristisuunas piki z-
telge. Kaugused x, y ja z kokkuleppelisest nullpunktist ongi keha
riskoordinaadid. Riskoordinaadistikku kasutatakse näiteks USA-s linnade
planeerimisel, kus ‘streedid’ ja ‘avenue’d on üksteisega risti ja
nummerdatud kasvavas järjekorras alates linna keskpunktist. Positiivsete ja
negatiivsete väärtuste asemel kasutatakse ‘North’, ‘South’, East’ ja ‘West’
lisandeid.
Cartesiuse koordinaadid ei ole ainuke viis keha asukoha määramiseks,
vaid seda saab teha ka mõne testsuguse kolme arvu kombinatsiooni abil,
peaasi, et kolm liikumist, mida need arvud kirjeldavad, oleksid ikka
omavahel ristsuundades. Näiteks tsentraalsümmeetriliste (kerakujuliste ja
kerakuju moondumisena tulenenud liikumiste) kirjeldamiseks on mugavamad nn.
polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate on ka kolm, kuid ainult üks neist
(raadius r) omab pikkuse (kauguse) dimensiooni, kaks ülejäänut on nurgad,
mis määravad selle liikumise suuna, mida mööda minnes määratud punkti
jõutakse. Esimene on nurk v (teeta), mis määrab erinevuse vertikaalsihist
ja teine on nurk ?, mis mäarab erinevuse kokkuleppelisest
horisontaalsihist. Polaarkoordinaate kasutatakse geograafias, kus
‘põhjalaius’ on sisuliselt 90°-v ja idapikkus on ?. Kuna määratavad punktid
asuvad kõik Maa pinnal, siis raadius oleks kõigi jaoks umbes 6000 km ja see
jäetakse kirjutamata. Maapinna kohal õhus või maa sees olevate punktide
koordinaatidele tuleks aga raadiuse väärtus juurde lisada.
Polaarkoordinaate allpool näiteks elektroni orbitaalide kvantmehaaniliseks
kirjeldamiseks vesiniku aatomis.
Liikumine, kiirus
Liikumine on keha asukoha (koordinaatide) muutumine ajas. Lihtsaim on
ühtlane sirgjooneline liikumine: konstantsed on kiiruse absoluutväärtus ja
suund.
Kiirus (v) on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse ajaühikus läbitud
teepikkusega. Teepikkus ?s on kahe asukoha vahekaugus. Kolmemõõtmelises
ruumis avaldub teepikkus alg ja lõpp-punkti koordinaatide kaudu järgmiselt
(1.1)
Pikkuse (teepikkuse) ühikuks on meeter, m. Meeter on ligilähedaselt
1/40000000 Maa ümbermõõtu, kuid täpne ühik on kokkuleppeline ja oli pikemat
aega defineeritud kui kahe peene kriipsu vahe plaatina-iriidiumi sulamist
siinil, mida hoiti Pariisi lähedal, nüüd aga on meeter seotud teatud aine
aatomite poolt kiiratava valguse lainepikkusega. Meeter on üks kolmest
põhiühikust ja teda ei saa tuletada teiste ühikute kaudu.
Kiirus
, kust ja (1.2)
Viimased valemid seovad omavahel kiiruse, teepikkuse ja aja. Aja ühikuks on
sekund, s. Sekund on ligilähedaselt 1/(365.25x24x60x60) keskmise
astronoomilise ööpäeva pikkusest, kuid tema täpne väärtus on praegu seotud
teatud aine poolt kiiratava valguse võnkeperioodiga. Sekund on üks kolmest
põhiühikust ja teda ei saa tuletada teiste ühikute kaudu. Näiteks kiiruse
ühik on m/s ehk m s-1 ja see on tuletatud põhiühikutest. Suurem osa
tuletatud ühikuid on seotud põhiühikutega andes viimastele väärtuse 1.
Nii teepikkus kui ka kiirus on vektorid, millel on x, y, ja z- suunalised
komponendid. Kahemõõtmelisel (tasapinnalisel juhul) vektori s kaks
komponenti on sx=scos?; sy=ssin?;
Ebaühtlase liikumise kiirendus (a) on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse
kiiruse muutusega ajaühikus. Sirgjoonelise liikumise kiirendus on kiiruse
muutumise kiirus, seega teine tuletis teepikkuse muutumisest:
(1.3)
Ka kiirendus on vektor, s.t., valem (1.3) kehtib sx, sy ja sz suhtes
eraldi. Kiirenduse ühik on m s-1 s-1 = m s-2 (loe: meeter sekundis
sekundis).
Kiirendusega liikumise kiirus
(1.4)
kui alghetkel kiirus ei olnud mitte null vaid v0.
Kiirendusega liikumisel läbitud teepikkus, kui aega hakkame lugema nullist
(integraali alumine rada on null ja arvutada tuleb ainult ülemine rada):
(1.5)
ja teepikkuse s läbimiseks kuluv aeg (1.4)
Juhul, kui algkiirus on null, siis
, (1.5)
kust leiame aja, mis kulub teepikkuse s läbimiseks:
(1.6)
ja kiiruse v, mis saavutatakse teepikkuse s läbimisel
(1.7)
Maa raskuskiirendus on g=9.81 m s-2 ja see määrab vabalt langevate kehade
liikumise kiirenduse.
Ülesanded: Kuidas määrata torni kõrgust ampermeetri ja stopperi abil?
Kui suure algkiirusega peab pumpama vett, et purskkaevu juga kerkiks 30 m
kõrgusele?
Kui kõrgele ja kui kaugele ulatub sama juga kui see suunata 45 kraadi all
kaldu?
Kuidas peab piloot juhtima lennukit, et kabiinis tekiks kaaluta olek?
Vähemalt kui suure algkiirusega peab toimuma kaugushüppaja äratõuge ja
missuguse nurga all tuleb see suunata, et püstitada uus maailmarekord
(oletame, et praegune maailmarekord on 9 m)?
Ringikujulisel (elliptilisel) trajektooril liikuvate kehade orbiidi
leidmiseks tutvume kõverjoonelise liikumise kiirendusega, millest lihtsaim
on ringjooneline liikumine.
Kõverjoonelise (ringjoonelise) liikumise tangentsiaal- (puutujasuunaline)
kiirus
(1.8)
kus r on raadius, ? on tiirlemisperiood ja ? on tiirlemissagedus.
Ristikiirendus
(1.9)
kus ? on nurk-kiirus. Nurkkiirust mõõdetakse pöördenurga suurenemise
kiiruse kaudu, ühik on radiaan sekundis. Täisring on 2? radiaani, seega üks
tiir sekundis tähendab nurkkiirust 2? radiaani sekundis.
Dünaamika põhimõisted ja seadused: jõud, impulss, töö, energia
Newtoni esimene seadus (ka Galilei seadus, inertsiseadus): Iga keha liigub
ühtlaselt ja sirgjooneliselt seni kuni teiste kehade mõju (jõud) ei
põhjusta selle seisundi (kiiruse) muutumist.
Ühtlane ja sirgjooneline liikumine on võimalik ainult avakosmoses väga
kaugel taevakehadest. Maa pinnal on kõik kehad gravitatsioonivälja
mõjusfääris ja neile mõjub Maa külgetõmbejõud. Demonstratsioonkatseks on
mõjudeta liikumisele ligilahedane teraskuuli veeremine horisontaalsel
peegelpinnal, kus raskusjõud on liikumisega risti ja hõõrdumisjõud on
minimaalne. Ka piljardikuulid liiguvad küllatki ühtlaselt ja
sirgjooneliselt kuni põrkumiseni.
Newtoni teine seadus: Liikumise muutumise kiirus (kiirendus) on võrdeline
rakendatud jõuga ja toimub jõu suunas.
ehk (2.1)
kus f on jõud, m on keha mass ja a on kiirendus. Võrdetegur, mis seob
kiirenduse jõuga on pöördvõrdeline keha massiga, s.t. üks ja seesama jõud
põhjustab seda suurema kiirenduse mida väiksem on keha mass. Jõud f ja
kiirendus a on vektorid (suunaga suurused), m on skaalar (suunata suurus).
Massi ühik on kilogramm (kg). Üks kilogramm on ligilähedaselt ühe dm3 puhta
vee mass, kuid täpne massi etaloon on plaatina-iriidiumi sulamist
metallkeha, mis on hoiul Pariisi lähedal. Kilogramm on seega üks kolmest
põhiühikust, mille suurus on kokkuleppeline ja mida ei saa tuletada teiste
ühikute kaudu. Tuletatud ühiku näiteks on jõu ühik: üks njuuton (N) on
jõud, mis annab massile üks kilogramm kiirenduse üks m s-2
Mass: kaal ja inerts
Massil on kaks omadust: inerts ja gravitatsioon. Huvitaval kombel on need
kaks omadust alati võrdelised ja massi suurust saab määrata nii ühe kui
teise kaudu. Kaalumine on massi mõõtmise viis gravitatsioonijõu kaudu. Mitu
N kaalub keha massiga 1 kg? Kaal on raskusjõud, millega Maa tõmbab keha.
Raskusjõud annab massile 1 kg kiirenduse 9.8 m s-2, sel ajal kui 1 N annab
kiirenduse vaid 1 m s-2. Seega, mass 1 kg kaalub 9.8 N. Sama mass 1 kg
kaaluks Kuu peal umbes kuus korda vähem, seega umbes 1.6 N. Keha kaal
sõltub ka asukohast Maal (ekvaatoril on Maa pöörlemisest tulenev
tsentrifugaaljõud suurem ja see vähendab kaalu). Kaalu vähendab ka õhu
üleslüke. Seega, üks kilogramm udusulgi kaalub vähem kui 1 kg rauda, kui ei
arvestata õhu üleslükke parandit. See parand on seda suurem, mida
lähdasemad on kaalutava keha ja õhu tihedused, kuni selleni, et vesinikuga
täidetud õhupall omab negatiivset kaalu. Õige kaalu määramine oleks õhu
üleslüket arvestades, kuid praktikas, kui on tegu tahkete ainete või
vedelikega, on selle tähtsus suhteliselt väike. Kui küsite poest ühe kg
leiba, siis soovite te tõepoolest leiva massi, mitte selle kaalu. Seega
küsimine kilogrammides ja mitte njuutonites on füüsikaliselt õige. Kui
müüja kaalub leiva vedrukaaluga, siis saab ta tulemuse njuutonites ja see
sõltub laiuskraadist. Kui aga kasutatakse kangkaalu, siis võrreldakse
omavahel kaalutavat keha kaalupommide massiga ja tulemus ei sõltu
laiuskraadist.
Newtoni kolmas seadus: Mõju (jõud) on võrdne vastumõjuga (vastujõuga)
. Kui esimene keha mõjutab teist jõuga f siis teine keha mõjutab
esimest jõuga –f. Klassikaline näide: paadist kaldale hüpates tõukate paati
kaldast eemale. Kumb aga liigub kiiremini, teie või paat?
Kahe keha vastasmõjul saavad mõlemad kiirenduse pöördvõrdeliselt nende
kehade massiga:
ehk (2.2)
Newtoni kolmandal seadusel põhineb rakettmootori töö. Igal ajamomendil
paiskab reaktiivmootor suhteliselt väikest kütuse massi suure kiirendusega
tahapoole, selle tulemusena liigub rakett kui suurem mass väiksema
kiirendusega vastassuunas. Protsess on pidev seni kuni mootor töötab ja
kuna kiirendus mõjub mõlemale, nii raketile kui kütusele võrdse aja
jooksul, siis lõppkokkuvõttes suhtuvad ka raketi ja ruumi väljapaisatud
kütusemassi kiirused nii nagu valem (2.2) näitab kiirenduste kohta. Kui
näiteks raketi ja kütuse massid on võrdsed, siis on lõpuks võrdsed ja
vastassuunalised ka nende kiirused. Erinevus raketi ja ruumipaisatud kütuse
vahel on aga selles, et rakett kui tahke keha omab ühte kindlat kiirust,
kütuse põlemisprodukt aga on gaasiline ja valem (2.2) kehtib selle
ruumilise massikeskme kohta.
Ka lindude lendamine (ja isegi loomade või inimese ujumine) on
sisuliselt reaktiivliikumine, sest teist võimalust kui Newtoni kolmanda
seaduse abil õhust raskemal kehal õhus (veest raskemal kehal vee peal)
püsimiseks ei ole. Lind lükkab tiibadega õhku allapoole, mõjutades õhumassi
jõuga ja andes õhule allapoole liikumise kiirenduse, samal ajal vastujõud
tõukab lindu ülespoole. Linnu ülespoole liikumise kiirendus on niisama suur
kui raskuskiirendus, kuid sellega vastassuunaline, nii et mõlemad
kompenseeruvad ja lind lendab konstantsel kõrgusel. Matemaatiliselt,
, kus m1 on linnu ja m2 tiibade all liikuma pandud õhu mass ning a on
viimasele antud kiirendus.
Ülesanne: Selgitada, mis ühist on lennuki reaktiivmootoril,
propellermootoril, lendamisel tiivalehvitamisega ja planeerimisel.
Üks tähtsamaid kiirendusest tulenevaid jõude on kesktõmbejõud ja
kesktõukejõud ringlikumisel, mis on võrdsed javastassuunalised. Keha liigub
ringikujulist trajektoori mööda tänu jõule, mis tõmbab teda keskpunkti
suunas. Kesktõmbejõud võib olla gravitatsioon (Maa tiirlemine ükber
Päikese), elektromagnetiline (elektroni tiirlemine ümber tuuma) või
mehaaniline (nöör mis ühendab lingukivi käega, tsentrifugaalpumba korpus,
mis suunab vedeliku ringtrajektoorile, aga ega nedes kehadeski esine
lõppkokkuvõttes muud kui elektromagnetilised jõud). Kesktõukejõud tekib
keha inersti tõttu, tema püüdest likuda sirgjooneliselt puutujat mööda.
Kesktõukejõud ringliikumisel avaldub järgmiselt
.
kus ? on nurkkiirus. Nurkkiirus seostub lineaarkiirusega järgmiselt:
ehk , seega
Kui suur on 100 kg-se mehe kaaluvahe poolusel ja ekvaatoril? Maakera
raadius on 6000 km. Nurkkiirus on 2?/(24x3600) = 7.27x10-5 radiaani
sekundis. Asendades need värtused valemisse (??) saame f=100x(7.27x10-
5)2x6x106 = 100x52.8x10-10x6x106= 3.168 N. Poolusel kaalub 100 kg 981 N.
Suhteline kaalu kahanemine on 3.17/981=0.0032 ehk 0.32%. Meie laiuskraadil
ja ekvaatoril on see suhe veel umbes poole väiksem.
Tsentrifugaaljõu praktilisi rakendusi: tsentrifugaalpumbad ja
ventilaatorid. Kuidas muutub ventilaatori ja tsentrifugaalpumba arendatav
rõhk mootori pööretest?
Liikumise hulk ehk impulss.
Kui püüate väga massiivset keha, näiteks autot, liikuma lükata, siis tuleb
jõudu rakendada küllalt kaua, enne kui saavutate vajaliku kiiruse, näiteks
küllaldase mootori käivitamiseks ilma starteri abita. See tähendab, et keha
poolt saavutatud kiirus sõltub jõu mõjumise ajast. Kasutame kiiruse
arvutamiseks kahte seost: , kust
Suurust mv nimetatakse liikumise hulgaks ehk impulsiks. Impulsi muutus on
võrdeline jõuga ja selle mõjumise ajaga ning toimub jõu suunas.
Impulsi jäävus liikuvate kehade vastasmõjudes on energia jäävuse kõrval üks
looduse põhiseadusi. Näiteks kahe piljardikuuli põrkel või kahe
gaasimolekuli põrkel
Impulsi muutus kehade vastasmõjul on võrdne ja vastassuunaline, süsteemi
summaarne impulss on konstantne. Impulsi mõistet kasutame allpool gaaside
rõhu arvutamisel.
Töö ja energia.
Töö on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse jõu ja jõu suunas läbitud
teepikkuse korrutisega
Töö ühik on Dzhaul (Joule), [J] = [N]x[m]. Dzhaul on töö, mida teeb jõud
üks njuuton ühe meetri pikkusel teel. Tööd tehakse siis, kui liigutatakse
mingit keha avaldades sellele jõudu. Näiteks, tõstes 50 kg viljakotti maast
1m kõrgusele vankrile tehakse töö mis võrdub koti kaal (njuutonites !)
korda vankri kõrgus, 50x9.8x1=490 J. Kui vesi langeb 20 m kõrguses joas
käivitades turbiini, siis iga kg vett teeb tööd 20x9.8=295 J.
Kui jõud on teepikkuse (koordinaadi) funktsioon (on muutuv sõltuvalt
asukohast), siis tuleb rakendada integreerimist. Integreerida võib
liikumise ja jõu kui vektori komponente kolme koordinaadi suunas eraldi
Tüüpiline muutuva jõu poolt tehtud töö arvutus on seotud keha asukoha
muutusega teise keha gravitatsiooni- või elektriväljas. Näiteks, Newtoni
gravitatsiooniseadus väidab, et kahe keha vahel mõjub gravitatsioonijõud,
mis on võrdeline nende kehade masside korrutisega ja pöördvõrdeline
nedevahelise kauguse ruuduga:
Elementaartöö, mida tehakse selleks, et suurendada kehade vahelist kaugust
dx võrra oleks
ja liikumisel üle mingi pikema vahemiku tehtud töö oleks
Kui teepikkus on määratud, tuleb integraal võtta radades liikumise
algpunktist lõpp-punkti. Valem ??? näitab, et kui kahe keha vaheline jõud
kahaneb kauguse suurenedes pöördvõrdeliselt kauguse ruuduga, siis tehtud
töö kasvab kauguse kasvades pöördvõrdeliselt kaugusega. Tõmbuvate kehade
vahelise kauguse suurendamiseks tuleb teha välist tööd, kui kehad
lähenevad, siis nad teevad ise tööd. Tõukuvate kehade, näiteks
samanimeliste laengute vahel, on olukord vastupidine: tõukuvate kehade
lähendamiseks tuleb teha välist tööd, kui need kehad eemalduvad
teineteisest, siis nad teevad ise tööd. Viimase juhu näiteks oleks aatomite
lähenemine, kus välise elektronkihi elektronid tõukuvad üksteise
elektriväljas. Tahkete kehade kokkupuude ja hõõrdumine ongi väliste
elektronkihtide tõukumine, tegelikku füüsilist kokkupuudet ei esine kunagi.
Võimsus on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse ajaühikus tehtud töö
hulgaga.
Võimsust kasutatakse näit. mootorite ja küttekehade hindamisel, teadmaks
kui palju tööd need suudavad ajaühikus teha. Võimsuse ühik on Watt [W] =
[J] [s]-1 üks Dzhaul sekundis. Elektripirnide tarbitav võimsus on näiteks
40 – 100 W, elektripliit 600 – 2000W, automootor 50 – 100 kW.
Elektrienergia hulga mõõtmiseks kasutatakse ühikut kilovatt-tund (kWh), see
on töö, mida teeb võimsus 1 kW ühe tunni = 3600 s jooksul. Üks kWh = 1000 J
s-1 x 3600 s = 3600000 J = 3600 kJ.
Energia on keha võime teha tööd.
Energiat on kahte liiki, liikuva keha kineetiline energia ja jõuväljas
asuva keha potentsiaalne energia. Energia jäävuse seadus on looduse
põhiseadus: Energia ei teki ega kao, vaid muundub ühest vormist teise.
Seega, looduses toimub kineetilise energia muundumine potentsiaalseks ja
potentsiaalse energia muundumine kineetiliseks.
Liikuva keha kineetiline energia. Arvutame, kui palju tööd tuleb teha, et
keha (massiga m) kiirust suurendada paigalseisust kuni väärtuseni v. See
töö moodustabki likuva keha kineetilise energia.
Töö=energia:
Kui suur aga on teepikkus s mille lõpuks saavutatakse kiirus v? Kasutame
seost (1.7)
, kust
Teades, et , asendame selle ja saame
Nüüd on selge, et
Kineetiline energia on võime teha tööd. Liikuva keha peatumisel võib ta
enese ees lükata teist keha mõjudes sellele jõuga ja tehes tööd. Kui auto
sõidab vastu puud, siis auto kineetiline energia liigutab plekke paigast ja
murrab sõitjate luid. Tähelepanu, et auto kiiruse suurenemisel kaks korda
suureneb kineetiline energia neli korda! Niisugustel deformeerivatel
põrgetel muutub kineetiline energia peamiselt molekulide soojusenergiaks.
Kineetiline energia muutub potentsiaalseks energiaks kui liikuvat keha
peatab jõuväli, näiteks kui viskame kivi ülespoole. Gravitatsioonivälja
jõud peatab lõpuks kivi liikumise, kuid kivi kineetiline energia on
muundunud tema potentsiaalseks energiaks. Sama juhtub elektronidega, kui
nad saavad lisaks kineetilist energiat (näiteks aatomite põrgetel või
valguse neeldumisel): nad liiguvad tuumast kaugemale.
Jõuväljas asetseva keha potentsiaalne energia.Vaatleme esialgu
gravitatsioonivälja maapinna lähedal. Arvutame, kui palju tööd tuleb teha
keha (massiga m) tõstmiseks kõrgusele h.
Gravitatsiooniväli ja elektriväli on nn. potentsiaalsed väljad, kus keha
potentsiaalse energia muutus sõltub ainult alg-ja lõppasukohast, mitte aga
vahepealse liikumise trajektoorist. Tehtud töö on sama, ükskõik millist
rada mööda liigutakse samade alg- ja lõpp-punktide vahel. Vabal inertsel
liikumisel jõuväljas (ilma välismõjudeta) potentsiaalne ja kineetiline
energia pidevalt muunduvad teineteiseks, nii et summaarne energia on kogu
aeg sama:
Näiteks kõrguselt h kukkuva keha kiiruse leiame teades et kukkumise lõpuks
, kust
Ülesvisatava kivi maksimaalkõrguse võime samuti leida tema algenergia
(algkiiruse) kaudu.
Kineetilise ja potentsiaalse energia muundumine toimub ka
lihastetöös. Näiteks võib teoreetiliselt arvutada, kui kõrgele saab hüpata
kirp, kelle kehas keskmine ATP kontsentratsioon on 0.1 mM, eeldades, et ATP
keemiline energia kõik muutub hüppel kineetiliseks energiaks.
Eelmised ülesanded on lihtsad, sest ülesvisatud keha kõrgus muutub
suhteliselt Maa raadiusega sedavõrd vähe, et rakusjõudu saab lugeda
konstantseks. Kui aga kaugus muutub suhteliselt palju, näiteks nagu
kosmoselendudel, või nagu elektroni kaugus muutub tuuma suhtes, siis ei saa
ei gravitatsiooni- ega elektrivälja jõudu enam konstantseks lugeda vaid töö
(energia) arvutamisel tuleb arvestada, et jõud muutub koos kaugusega.
Jõudude tasakaal, kiirus ja energia ringjoonelisel tiirlemisel.
Looduses asuvad kõik kehad üksteise jõuväljades, suuremad kehad
gravitatsiooniväljas, väikeste kehade puhul on oluline elektriväli. Ometi
ei kuku tõmbuvad kehad üksteise peale, sest sellisel juhul oleks kogu
Universum ammu kokku kukkunud, elektronid oleksid kukkunud aatomituumadesse
ja planeedid nende Päikestesse. Loodust stabiliseerib see, et kehad
tiirlevad üksteise ümber, nii et kesktõmbejõud ja kesktõukejõud on võrdsed
ja radiaalsuunalist kiirendust (jõudu) ei esine. Kasutades füüsikast
teadaolevaid valemeid gravitatsioonilise (elektrilise) kesktõmbejõu ja
inertsiaalse kesktõukejõu kohta saab nende tasakaalutingimustest tuletada
näiteks kui suur on tiirleva keha potentsiaalne, kineetiline ja summaarne
energia.
Mõlemad, nii elektrivälja kui ka gravitatsioonivälja tugevus (mõjuv jõud)
kirjelduvad ühe ja sellesama seadusega:
gravitatsiooniväli: ja elektriväli:
kus m on keha mass, e on keha laeng (indeksid näitavad esimese ja teise
keha oma eraldi), r on nendevaheline kaugus ka konstant k määrab seose
kasutatava ühikute süsteemiga. Kui masse mõõdetakse kilogrammides, siis
gravitatsioonijõu saamiseks Njuutonites omab gravitatsioonikonstant kg
väärtust ????. Kui laenguid mõõdetakse Coulombides (Kulonites, C) siis
elektrostaatilise tõmbejõu saamiseks Njuutonites elektriväljakonstant ke
omab väärtust ????.
Muide, selles, et need konstandid ei oma väärtust 1, väljendub
füüsikalise mõõtühikute süsteemi ajalooliselt kujunenud ebajärjekindlus.
Süsteemselt õige oleks olnud massiühikuks võtta niisugune mass, mis teist
samasugust tõmbab ühe pikkusühiku kauguselt ühikulise jõuga. Seesama
ühikuline jõud aga peab andma ühikulisele massile ka ühikulise kiirenduse.
Et see aga nii tuleks, peaks nii massi, pikkuse kui ajaühikut vastavalt
muutma. Praegused põhiühikud ei ole üldse seotud gravitatsiooniseadusega.
Samasugune on lugu elektrilaenguühikutega. Formaalselt peaks laenguühik
Coulomb (Kulon) olema defineeritud kui laeng mis tõmbab teist samasuurt
vastasmärgilist laengut pikkusühiku kauguselt ühikulise jõuga. Tegelikult
on aga Coulomb defineeritud hoopis magnetvälja kaudu: Coulomb on laeng, mis
liikudes ühe sekundi jooksul läbi 1 m pikkuse traadi mõjutab teist
samasugust traati, milles voolab niisama tugev vool, 1 m kauguselt jõuga 1
N. See definitsioon baseerub magnetväljal, mis on liikuvate laengute ümber
ruumis. Elektrivälja jõud avaldub nüüd aga ülaltoodud kaliibrimiskonstandi
kaudu.
Leiame keha (laengu) potentsiaalse energia tsentraalsümmeetrilises
gravitatsiooni- (elektri-) väljas. Kuna jõud on tugevasti kaugusest sõltuv,
siis tuleb kindlasti rakendada integreerimist. Laengu liikumisel
elektriväljas väga lühikesel teepikkusel tehtud töö on
kus liikumise teepikkust tähistame seekod raadiuse (kugus tsentrist)
muutusena dr. Kui laeng liigub raadiuselt r1 raadiusele r2, peame
integreerima vastavates radades:
Valem näitab, et tsentraalsümmeetrilises elektriväljas liikudes muutub
laengu potentsiaalne energia pöördvõrdeliselt kaugusega tsentrist.
Analoogiline valem kehtib ka gravitatsioonivälja kohta, ainult et seal
esinevad kahe laengu asemel kaks massi ja elektrivälja konstandi asemel
gravitatsioonikonstant. Kui laeng liigub tsentrist eemale, siis r2>r1 ja
negatiivne liige on väiksem kui positiivne, seega siis potentsiaalne
energia kasvab. Vastupidi, potentsiaalne energia kahaneb, kui laeng liigub
tsentrile lähemale. Potentsiaalse energia nullnivoo on aga kokkuleppeline.
See võiks olla üks äärmuslikest seisunditest, kas või
(lõpmatus). Siiski, raadius ei saa olla null, sest siis läheneb energia
lõpmatusele, seega jääb kokkuleppeliseks nulliks nivoo, kus laengud
asetsevad teineteisest lõpmatu kaugel. Lähenedes aga nende potentsiaalne
energia kahaneb, seega muutub negatiivseks, ja läheneb miinus lõpmatusele
kui laengud kohtuvad. Niisugune potentsiaalse energia nullnivoo
definitsioon, mis on hea elektronide ja tuumade vahelise mõju
kirjeldamiseks aatomites, on erinev igapäevakogemusest gravitatsioonilise
energiaga, kus nulliks loeme tavaliselt energia maapinnal ja energia loeme
positiivselt kasvavaks kui keha maapinnast kaugeneb. Kui valemis ??? ,
st. elektron läheneb tuumale lõpmatu kaugelt, siis tema potentsiaalne
energia on alguses null ja kahaneb lõpuks väärtusele
Kuna see energia kuhugi kaduda ei saa, siis muutub ta elektroni liikumise
kineetiliseks energiaks, st., lähenedes tuumale elektron liigub
kiirenevalt, nii nagu näiteks asteroid liigub kiirenevalt lähenedes Maa
pinnale. Vahe on siiski selles, et elektron ei lange kunagi tuumale, vaid
jääb tiirlema mingil kaugusel ümber tuuma. Tiirlemise kaugus (raadius, on
määratud sellega, millal elektriline tõmbejõud võrdub inertsiaalse
kesktõukejõuga. Matemaatiliselt avaldub see tingimus järgmiselt:
Selle valemi vasak pool on varasemast tuttav kesktõukejõu valem keha
massiga m ringliikumisel joonkiirusega v ümber tsentri kaugusel r. Valemi
parem pool on elektrostaatilise tõmbejõu valem, kuid siin on juba
arvestatud, et aatomis positiivne ja negatiivne laeng on võrdsed, mõlemad
väärtusega e.
Eelmisest valemist saab leida raadiuse, mille saab siduda nii elektroni
kiiruse kui tema kineetilise energiaga:
või
Ümber tuuma tiirleva elektroni kineetiline energia kasvab kui elektron
läheneb tuumale (r kahaneb). Tuletame meelde, et potentsiaalne energia
samal ajal kahanes:
,
ja summaarne energia
Elektroni summaarne energia kahaneb kui elektron asub tiirlema orbiidile
mis on tuumale lähemal. Kuhu see energiavahe siis läheb, millisesse vormi
muutub (kaduda ju ei saa)?
See energiavahe peab aatomist eralduma ja seda ta ka teeb, kas
valguskvandi kujul, või kandub üle mõnele naaberaatomile, tõstes selle
elektroni vastavalt kõrgemale energianivoole, või eraldub soojusena, s.o.
muutub aatomi translatoorseks (kulgevaks) liikumiseks. Niisugune
elektronide ja tuuma vahelise kauguse muutumine, elektronide tiirlemine
erineva raadiusega orbiitidel, on peamine keemiliste ainete siseenergia,
keemilise energia olemus. Ained, mille molekulides elektronid tiirlevad
tuumadest kaugemal, on energiarikkamad ja võivad seda vabastada kui
keemilise reaktsiooni tulemusena toimuvad muutused, mille tulemusena
elektronid saavad tuumadele lähemale asuda. Bioloogiliste protsesside
energeetika on samadel alustel: fotosünteesis tõstetakse elektron
valguskvandi abil kõrgemale energianivoole, tuumast kaugemale orbiidile, ja
metabolismi käigus ta järkjärgult läheneb tuumale, vabastades niimoodi
kvandi poolt talle antud energia.
Kas aga elektronid saavad tiirelda ümber tuuma igasugustel kaugustel?
Kui see nii oleks, võiks ju vabastada väga suuri keemilise siseenegia
koguseid lubades elektronil asuda tuumale väga-väga lähedale (lastes
raadiuse nulli lähedale). Tõepoolest, klassikaline füüsika seda lubaks,
kuid tegelikkuses seda ei juhtu. Siin tulevad sisse kvantmehaanilised
piirangud, mis klassikalise füüsika abil ei seletu. Järgnevas tutvumegi
atomaarse kvantteooria põhialustega.
BOHRI AATOMIMUDEL
Eelmises lõigus tuletasime valemid, mis kirjeldavad ümber tuuma tiirleva
elektroni kiirust ja energiat. Igale elektroni kineetilise energia
väärtusele Ek vastaks kindel raadius r. Klassikalise füüsika seisukohtade
kohaselt tekitab aga tiirlev elektron muutuva elektromagnetilise välja:
elektron on perioodiliselt kord tuumast parmal, siis jälle vasemal, seega
‘pluss’ ja ‘miinus’ vahelduvad nagu televisiooni saateantenni varrastes,
vahe on ainult mõõdus ja tiirlemise sageduses. Muutuva elektromagnetilise
välja kaudu peaks elektroni tiirlemisenergia välja kiirguma, elektron peaks
tuumale lähenema ja lõpuks tuumale kukkuma. Tegelikult seda ei toimu, kõik
aatomid maailmas on stabiilsed ja tavaliselt ei kiirga energiat. Selles on
klassikalise mehhaanika põhivastuolu tegelikkusega. Seda vastuolu ei saa
eletada, see tuleb lihtsalt teadmiseks võtta ja postuleerida, et teatud
kindlate energiaväärtuste puhul on elektronide orbiidid aatomis stabiilsed
ja energiat ei kiirgu, kuigi põhjus, miks ei kiirgu, ei ole teada. Kui see
aga teadmiseks võtta, siis saab sellele üles ehitada uut sorti mehanika –
kvantmehaanika. Esimeseses järjekorras tuleb postuleerida, missugused on
need orbiidid, millel elektron saab stabiilselt tiirelda ilma energiat
kiirgamata.
Uurides kuumutatud kehadelt kiirguva valguse spektreid leidis Max
Planck (1900) ka siin vastuolu, mis lahenes, kui eeldati, et valgusel on
kvantiseloom: valgus kiirgub energiaportsjonite e. kvantide kaupa, millest
igaühe energia , kus ? on valguslaine võnkumise sagedus.
Lähtudes sellest postuleeris Bohr (1913): elektroni tiirlemisel ümber tuuma
elektrmagnetilist lainet (=valgust) ei kiirgu, kui elektron tiirleb
orbiitidel millel potentsiaalne on
.
Kineetiline energia oli positiivne ja pool potentsiaalsest energiast:
,
Nendes valemites ? on elektroni tiirlemise sagedus, n aga mingi täisarv 1,
2, 3, 4 jne.
Kasutades seost joonkiiruse ja nurkkiiruse vahel, mille abil sagedus
teisendatakse joonkiiruseks, saame:
ja
ja võime kirjutada
ehk
või võttes mõlemad pooled ruutu saame: .
Elektrostaatilise tõmbejõu valemist (???) saame massiga m läbi
korrutades:
Kahe viimase valemi vasakud pooled on võrdsed. Paremate poolte
võrdsustamisel saame avaldada lubatud raadiuse
.
Need nn. Bohri raadiused ongi võimalikud raadiused millel elektron saab
asuda stabiilselt ilma energiat kiirgamata.
Avaldame elektroni kineetilise energia tema massi m ja laengu e kaudu.
Selleks asendame r valemisse (???) või (???). Saame
Samale orbiidile vastav potentsiaalne energia
ja koguenergia, mis vastab orbiidile, mida iseloomustab täisarv n
Võimalike naaberorbiitide energiate vahe
Elektroni tiirlemissageduste vahe kahel naaberorbiidil võrdub
väljakiiratava (või neelatava) valguse sagedusega kahe orbiidi vahelisel
üleminekul:
ja lainepikkus kus c on valguse kiirus.
Arvulisi andmeid: e = 1. 6021892·10-19 kulonit; h= 6.626176·10-34 J·s;
me = 9.109534·10-31 kg
c = 299792458 m s-1 ke=???
Valem (???) näitab, et elektroni võimalikud tiirlemisraadiused
suurenevad võrdeliselt täisarvude ruutudega, seega jada on 1, 4, 9, 16, 25,
36 ...
Valem (???) näitab,et elektroni koguenergia võimalikel orbiitidel
suureneb raadiuse kasvades pöördvõrdeliselt täisarvu n ruuduga, seega jada
oleks
Kõige sügavama energianivoo (põhinivoo) väärtus on vesiniku aatomis -13.6
eV, nivoode jada elektronvoltides oleks siis
-13.6; -3.4; -1.5; -0.85; -0.54; -0.38 ...eV
Volt (Itaalia teadlase Volta nimest) on elektrivälja potentsiaali
(potentsiaalse energia) ühik. Elektrivälja kahe punkti potentsiaalide vahe
on üks Volt kui laengu üks kulon viimisel ühest punktist teise tehakse tööd
üks J. Ühe elektroni viimisel läbi potentsiaalide vahe üks volt tehakse
tööd üks elektronvolt. Energeetiliselt elektronvolt on dzhaulist niisama
palju kordi väiksem kui elektroni laeng on väiksem kulonist, seega 1 eV =
1. 6021892·10-19 J.
Orbiitide ja energianivoode joonised.
Nähtav ja nähtamatu elektromagnetiline kiirgus, valgus.
Energianivoode-vahelisel üleminekul kiiratakse kvant kui üleminek toimub
tuumale lähemale ja neelatakse kvant kui üleminek toimub tuumast kaugemale.
Kvandi energia on niisama suur kui vastavate orbiitide energianivoode vahe.
Võtame teadmiseks, et vesiniku sügavaimale energianivoole vastab 13.6 eV ja
arvutame sellele üleminekule vastava lainepikkuse.
See on silmale nähtamatu lühilaineline ultraviolett-kiirgus. Silm näeb
‘valgust’, mis on defineeritud kui elektromagnetiline kiirgus lainepikkuste
vahemikus 400-700 nm ehk kvandi energiavahemik 3.10 kuni 1.77 eV. Vesiniku
aatomisisestest üleminekutest kiirguks nähtavat kiirgust üleminekutel
kõrgematelt nivoodelt teisele nivoole, teiselt esimesele nivoole üleminek
kiirgab kvandi lainepikkusega 121.7 nm.
Seega, valguse ja sellest lühemate lainepikkustega kvandid kiirguvad
elektroni üleminekul kõrgema energiaga orbiidilt madalama energiaga
orbiidile, energiavahe kiirgub kvandina. Ka vastupidine protsess, kvandi
neeldumine aatomis põhjustades elektroni ülemineku madalamalt orbiidilt
kõrgemale, on võimalik. Nagu vesiniku aatomi analüüs näitas, on lubatud
täiesti kindlad energianivood, seega niisuguses aatomis kiirguvad ja
neelduvad ainult väga täpselt määratud lainepikkustega kvandid. Vesiniku
aatomis on põhinivoo nii sügaval, et sinna üleminekul saavad kiirguda vaid
ultraviolett-kvandid. Paljelektroniliste aatomite väliste kihtide lubatud
põhinivood ei asu mitte nii sügaval ja neis kiirguvad/neelduvad ka nähtava
valguse kvandid. Näiteks, tihti kasutatakse elavhõbe-auru ja naatriumi-
auruga täidetud lampe, kus elektrienergia abil sunnitakse metalliaatomeid
kiirgama nähtavat valgust. Kui aatomid asuvad gaasis tihedalt lähestikku,
siis nad põrkuvad soojusliikumise tõttu ja need põrked moonutavad orbiitide
kuju. Tulemusena nihkub igas moonutatud orbiidiga aatomis energianivoo
veidi ja kogu gaas ei kiirga enam mitte joonspektrit teatud kindlate
lainepikkustega, vaid nn. ribaspektrit, kus jooned on laienenud ribadeks.
Joonis: ribaspektri näidis kõrgrõhu elvhõbeauru-lambis.
Tahkes kehas asuvad aatomid nii tihedasti koos, et iga üksiku aatomi
energianivoo muutub väga ebamääraseks. Kui tahket keha, näiteks metalli või
sütt kuumutada, siis see hakkab valgust kiirgama. Madalamal temperatuuril
on see kiirgus pikemalainelisem, nähtavaks muutub see tumepunasena kusagil
600 °C juures. Temperatuuri edasisel tõstmisel hakkab domineerima järjest
lühemalainelisem kiirgus, muutudes silmale nähtavalt kollakaks, valgeks
(nagu Päike) või isegi sinakaks (nagu kuumad tähed). Niisugustes kuumutatud
tahketes kehades on kiirguse energiaallikaks aatomite (molekulide)
soojusliikumine, mis põrgetel ‘ergastab’ elektrone, lükates neid ajutiselt
kõrgematele niivoodele, kust nad siis kohe jälle alla kukuvad, kiirates
kvante. Kuna aatomid asuvad väga tihedalt, siis on ka lubatud
energianiivood väga tihedalt ligistikku, nii et igasuguse energiaga
kvantide kiirgumine on võimalik. Sellest tulenevalt on kuumutatud tahkete
kehade kiirgus pideva spektriga. Kuumutatud gaasides aga kiirgub ikkagi
joon- või ribaspekter. Nagu öeldud, on madala temperatuuriga kehades
lühilaineliste (kõrge energiaga) kvantide kiirgumine vähetõenäone ja neis
domineerivad pikemalainelised kvandid. Näiteks Maa keskmine temperatuur on
umbes 290 °K ja Maa kiirgab kosmosesse infrapunast kiirgust lainepikkuse
maksimumiga umbes 10 ?m. Seevastu Päikese temperatuur on umbes 6000 °K ja
tema kiirgusmaksimum on 0.5 ?m lainepikkuse juures. Hõõglampide niidi
temperatuur on umbes 2000-3000 °K ja kiirgusmaksimum umbes 1 ?m juures.
Nagu näeme, on silm kohastunud nägema just selles spektripiirkonnas, kus
Päike kiirgab maksimaalselt. Seevastu hõõglampide spektrist suurt osa silm
ei näe. Sellepärast ongi hõõglampide valgusviljakus (valguslik kasutegur)
suhteliselt madal (10-20%).
Joonised: Päikese ja hõõglampide spektri näited.
Mateeria lainelised omadused: kvantmehaanika kui lainemehaanika
Uurides musta tahke keha kiirgusspektrit leidis Max Planck (1900), et see
vastab energia juhuslikule jaotusele ainult tingimusel, et mitte igasugune
kiirgumine ei ole võimalik, vaid ainult kiirgumine portsjonite, kvantide
kaupa, mille igaühe energia ja võnkesagedus on seotud järgmiselt:
kus ? on võnkesagedus ja h nn. Planck’i konstant, mis on üks looduse
universaalsetest konstantidest. Veidi hiljem leidis Alber Einstein oma
üldrelatiivsusteooriast et elementaarosakeste (prootonite, elektronide
jne.) mass ja energia on omavahel seotud:
kus c on valguse kiirus. Nendest kahest valemist järgneb, et kvandil
(footonil) kui elektromagnetiliste lainete ‘paketil’ peab siiski olema ka
mingi mass
.
Seega on footon kahesuguste omaduste, nii lainepakett kui ka massiga
osakene. De Brouglie (1927) arendas seda mõtet edasi, et absoluutselt iga
osakene, millel on mass, omab samaaegselt ka lainelisi omadusi. Kui eelmine
valem teisendada, saame
,
kust
See valem on kirjutatud footonite jaoks, mis alati liiguvad kiirusega c ja
ei saa kunagi liikuda väiksema kiiruega. De Brouglie aga oletas, et massi
ja lainepikkust siduv valem kehtib iga osakese kohta, ka nende kohta, mis
võivad seista paigal või liikuda valguse kiirusest väiksema kiirusega.
Sellisel juhul valem sisaldaks valguse kiiruse asemel osakese (keha)
tegelikku kiirust
Vaatame, mida see hüpotees tähendaks Bohri aatomimudelis tiirleva elektroni
kohta, milline oleks selle ‘lainepikkus”?
Elektroni kineetiline energia orbiidil, millele vastas täisarv n oli
Avaldades siit kiiruse v saame
ja vastava elektroni lainepikkuse
Võrdleme elektroni lainepikkust Bohri raadiusega
ehk
Viimases valemis lisasime raadiusele indeksi n näitamaks, et tegu on just
nimelt täisarvule n vastava raadiusega. Valem ise aga näitab, et täisarvule
n vastavale orbiidile mahub just nimelt n täislainet. Tuletame meelde, et
kõrgemal orbiidil on elektroni kiirus väiksem, seega lainepikkus suurem.
Siit järeldub, et orbiidi ümbermõõt (ka raadius) suureneb kahel põhjusel:
elektroni lainepikkus suureneb ja orbiidile paigutatavate lainete arv ka
suureneb. Siit tulenebki väliste orbiitide läbimõõdu kiire kasvamine kui
elektroni summaarne energia hakkab nullile lähenema (elektron kaugeneb
tuumast väga kaugele).
Lainemehaanika algmed
Lained on ruumis edasilevivad võnkumised. Edasilevimine tuleb sellest, et
mingis ruumipunktis toimuv muutus kutsub esile sarnase muutuse
naaberpunktis, aga veidi hiljem. Elektroni orbiidil ringlevad samuti
lained, kuid kummas suunas? Et eelissuunda ei ole, siis levivad lained
mõlemas suunas liikudes vastamisi. Kui seejuures on veel orbiidil täisarv
laineid, siis tekib resultatiivselt nagu laine seiskumine, vastassuunalised
levimised kompenseeruvad. Seega, elektron aatomi orbiidil moodustab seisva
laine. Üldse, madalama potentsiaalse energiaga ruumiosas kinnihoitavad
lained moodustavad alati seisvad lained, ja seda madalama potentsiaaliga
ruumiosa kutsutakse ‘potentsiaaliauguks’. Gravitatsiooniväljas on
kahemõõtmeline potentsiaaliauk näiteks kaev, kus ergastatud lained
peegelduvad kaevu seintelt ja moodustavad veepinnal seisvaid laineid.
Kolmemõõtmeline elektripotentsiaali auk on näiteks tuuma ümbrus, mis hoiab
elektrone kinni kui seisvaid laineid. Seisvat lainet kirjeldav matemaatika
on lihtsam kui levivat lainet kirjeldav, sest ajalisi muutusi ei esine ja
vastav diferentsiaalvõrrand aega ei sisalda.
Juba varem leidsime, et võnkumiste võrrand on teist järku
diferentsiaalvõrrand. Näiteks massi ajaliste võnkumiste jaoks oli
põhiprintsiip, et tasakaalu poole suunatud jõud on võrdeline hälbega
tasakaalupunktist, seega kiirendus on võrdeline hälbega tasakaalupunktist.
Ruumilise võrrandi põhimõte on sama, ainult jõu ja kiirenduse mõistet siin
kasutada ei saa:
Võrrand on ühemõõtmeline, kus mingi suurus A lainetab x-telje suunas. Kui
lainetus võib esineda kolmes ruumisuunas, siis kirjutatakse
lainefunktsiooni lühidalt
, kus
Asendades saame
Et lainete oluliseks parameetriks on mitte kiirus, vaid energia, siis
avaldame kiiruse kineetilise energiaga kui koguenergia ja potentsiaalse
energia vahega:
ja
See on kvantmehaanika põhivõrrand, nn. Schrödingeri võrrand, ja tema
kolmemõõtmeline lahend esitabki lainefunktsiooni, mis kirjeldab
elementaarosakest kui seisvat lainet potentsiaaliaugus. Viimane tingimus
tähendab, et lahend on olemas kui koguenergia on negatiivne. Selle võrrandi
ruumiline (kolmemõõtmeline) lahend esitabki elementaarosakese kui
võnkumise. Lainetav osakene võib esinaeda teatud tõenäosusega igas
ruumipunktis. Osakese esinemise tõenäosuse tihedust kirjeldab
lainefünktsiooni ruut ja tema leidmise tõenäosus ruumiosas dV on
. Tuuma ümber tiirleva elektroni korral on koguenergia määratud Bohri
aatomi jaoks leitud tingimustega ja lainete arv mingil energianivool on
võrdne täisarvuga n, mis iseloomustas seda energianivood.
Oluline on tähele panna, et Schrödingeri võrrand ei sisalda aega,
seega elektroni leidmise tõenäosus mingis punktis on kogu aeg üks ja
seesama, elektron asub kogu aeg mingis piiratud ruumiosas. Elektroni hoiab
selles ruumiosas elektriväli, mille potentsiaal on negatiivne, st., mis
tõmbab elektroni. Tõmbavat, madalama potentsiaaliga (elektroni
potentsiaalse energiaga) ruumiosa nimetatakse ‘potntsiaaliauguks’,
analoogia põhjal auguga maapinnas, kuhu sissekukkunud kehad sealt ise enam
välja ei pääse. Tuumale lähenenud elektron ongi kukkunud potentsiaaliauku.
Joonisel on näidatud lihtsaim ühemõõtmelise potentsiaaliaugu juht, kus
väljaspool ‘auku’ on potentsiaal ühtlaselt kõrgem ja augus sees ühtlaselt
madalam, tuletades meelde näiteks kaevu maapinnas. Elektroni lainetamist
niisugune potentsiaaliaugus on matemaatiliselt lihtne arvutada, sest
summaarne energia E-Ep on augus sees kõikjal sama ja võrrand (???) laheneb
sinusoidaalsete võnkumistena. Tähtis on, et võrrand ei lahene mitte
igasuguse energiaväärtuse puhul, vaid ainult niisuguste puhul, mis
võimaldavad augu mõõtmesse paigutada täisarvu poollaineid. Sisuliselt
tähendab see tingimus, et augu servas, kus potentsiaal järsult tõuseb, peab
elektroni leidmise tõenäosus olema null (vt. joonist). Siit tulenebki
potentsiaaliaugus asetseva lainetava elektroni lubatud energia
kvantiseeritus, mille tulemusena võrrand laheneb ainult teatud
täisarvuliste kordajatega n seotud energiaväärtuste jaoks. Kvantarvu n mõte
on sama, mis Bohri aatomis, ta seob elektroni lubatud energia Plancki
konstandi h kaudu võnkesagedusega, lainepikkusega, mis täpselt mahub
‘potentsiaaliauku’.
Kuigi elektroni leidmise tõenäosus mingis ruumipunktis on konstant,
sõltub see oluliselt, millist ruumipunkti me vaatleme. Näiteks
potentsiaaliaugu serval on see null ja on null iga poollaine järel.
Poollaineid on seda rohkem, mida kõrgem on elektroni energia. Muide,
täpselt null on elektroni leidmine seina-ääres ainult siis kui ‘sein’ on
lõpmatu kõrge, st. potentsiaaliauk on väga sügav, väga madala
pontentsiaaliga. Madalasse seina tungib elektron veidi sisse, ja kui see
sein ei ole mitte väga paks, siis ulatub lektroni lainetus veidi ka
naaberauku (Joonis tunnelefekti kohta). Seega, elektron, mis asub piiratud
madala potentsiaaliga ruumiosas võib siiski teatud väikese tõenäosusega
sattuda ka naaberauku, kuigi nende vahel on sein. Seda nähtust nimetatakse
tunneleffektiks ja sellel on bioloogias suur tähtsus elektroni
ülekandeprotsessides: Kui lähestikku asuvad kaks aatomit, siis võib
elektron kanduda üle ühelt teisele, kuigi vahepeal on kõrge potentsiaaliga
ruumiosa (‘sein’).
Nagu öeldud, on Schrödingeri võrrand lihtne lahendada ja annab
siinusekujulised lained ainult siis kui summaarne energia on
potentsiaaliaugus konstantne. Aatomituuma ümbruses aga on potentsiaaliauk
hoopis sügava lehtri kujuline, langedes pöördvõrdeliselt kaugusega tuumast.
See teebki võrrandi lahendamise keeruliseks ja annab tulemuseks mitte
konstantse lainepikkusega siinuselised lained, vaid pidevalt lüheneva
lainepikkusega lained, seda lühema lainepikkusega, mida madalam on
potentsiaal antud kaugusel. Kirjutame need lahendid vesiniku aatomi jaoks
siiski välja, sest nendest tulenevad kvantarvud, n, l, ja m, mis määravad
elektronide võimaliku paigutuse aatomis.
Elektroni lainetus vesiniku aatomis
Schrödingeri võrrandi lahendamine ümber tuuma asetseva elektroni jaoks on
eelmises punktis vaadeldust keerukam kahel põhjusel: esiteks, lahend ei ole
mitte ühemõõtmeline, vaid kolmemõõtmeline ja potentsiaaliauk ei ole mitte
sileda põhjaga, vaid lehtrikujuline. Kuna probleem on ilmselt
tsentraalsümmeetriline, siis on otstarbekas Schrödingeri võrrand kirjutada
ruumilistes polaarkoordinaatides r, v ja ?. Tuletame meelde, et rist-ja
polaarkoordinaadid on omavahel seotud järgmiselt:
ja
Asendades need Scrödingeri kolmedimensionaalsesse võrrandisse saame
matemaatiliselt järgmise üldvõrrandi elektroni kohta vesiniku aatomis
Siin me on elektroni mass. Selle võrrandi lahendamine üldjuhul ei olegi
võimalik, vaid vaja on teha teatud eeldusi. Nimelt eeldatakse, et
kolmemõõtmeline lainefunktsioon ? avaldub kolme ühemõõtmelise
lainefünktsiooni korrutisena:
See on füüsikaliselt väga oluline koht, eeldades, et võnkumised kolmes
eraldi ruumi suunas toimuvad sõltumatult, üksteist mõjutamata. Elektroni
summaarne energia kujuneb välja kolmesuunaliste võnkumiste energiate
summana. Rakendades seda eeldust ja tehes matemaatilised teisendused saame
kolm eraldi võrrandit, igaüks oma koordinaadis toimuvate võnkumiste kohta:
Nendes võrrandites m ei ole elektroni mass vaid mingi täisarv, samuti nagu
?.
Esimene kolmest võrrandist lahendub väga lihtsalt. Nagu oodatud, on
võnkumised polaarnurga suunas siinuselised, sest asimuudi ? suunas on ju
potentsiaalne energia konstantne. Täisarv m on siin lubatud energiat
määrava kvantarvu rollis.
Samuti annab siinuselise lahendi teine võrrand, sest ka polaarnurga v
suunas on potentsiaalne energia konstantne. Siin on aga lahend keerukam,
sest sisldab kahte kvantarvu, m ja ?. Keerukaim lahend on aga
raadiusesuunaline, sest siin on potentsiaalne enegia muutlik,
pöördvõrdeline raadiusega. Ometi onkasee lahendatud ja leitud tingimused
kvantarvu n jaoks, mille puhul lahend on olemas (lubatud energiate
väartused).
Ülatoodud võrrandites on kvantarvud esitatud siiski keerukamal kujul
kui lihtsas Schrödingeri võrrandis. Põhjus on selles, et, nagu mainisime,
on elektroni summaarne energia nüüd määratud kolme energia summaga,
vastavalt igas koordinaadis toimuvale võnkumisele. Keemiliste ja
füüsikaliste protsesside jaoks on aga tihti kõige tähtsam summaarne
energia, pealegi võimaldaks ühe summaarset energiat väljendava kvantarvu
sissetoomine siduda kolmemõõtmeliselt võnkuva elektroni ühemõõtmeliselt
tiirleva elektroni kvantiseeritud energiaga, nii nagu see oli Bohri
aatomis. Seega, tuleks tuua sisse peakvantarv n, mis näitab kõigis
koordinaatides toimuvate võnkumiste energiate summat, ja kõrvalkvantarvud,
mis näitavad, kui suur osa summaarsest energiast on jaotunud ühe või teise
koordinaadi suunas. Niisuguset loogikast tulenebki, et võrrandid ? ja ?
jaoks sisaldavad juba ise mingeid täisarve, mis on allutatud täisarvule n,
mis ei sisaldu R võrrandis vaid tuleneb selle lahenduvuse tingimusena. See
alluvuste jada on järgmine:
Täisarv n, peakvantarv, võib omada täisarvulisi positiivseid väärtusi
alates nullist: n=0, 1, 2, 3, ...
Füüsikaliselt, n näitab võngete (lainete) koguarvu raadiuse r ja tõusunurga
v suunas kokku.
Valemis ??? kus l võib omada positiivseid täisarvulisi väärtusi 0, 1,
2, 3, ...n-1. Suurust l nimetatakse orbitaalkvantarvuks ja see näitab, mitu
võnget on tõusunurga suunas. Võnked asimuudi ? suunas ei muuda elektroni
energiat muidu kui aatom ei asetse välises magnetväljas. Seetõttu ei olegi
asimuudisuunalisi võnkeid energiat määravate võngete koguarvu sisse loetud
ja kvantarvu m nimetatakse magnetkvantarvuks. Tema lubatud väärtused on
allutatud orbitaalkvantarvu l väärtustele ja võivad olla vahemikus
–l..0..+l.
Seega, seoses sellega, et ruum on kolmemõõtmeline, on elektronil kolm
kvantarvu, mis iseloomustavad võngete arvu iga koordinaadi suunas. Selleks,
et üks kvantarv iseloomustaks võimalikult hästi koguenergiat, on võrrandid
lahendatud nii, et peakvantarv n vastab kahe koordinaadi raadiuse ja
tõusunurga suunas toimuvate võngete koguarvule.Asimuudi suunas toimuvad
võnked ei mõjuta elektroni koguenergiat muidu kui aatom ei asetse välises
magnetväljas, seetõttu on magnetkvantarv m summast välja jäetud. Peame
meeles järgmised reeglid:
n=1,2,3,4,5....
l=0, 1, 2 ...(n-1)
m=0, ±1, ±2, ...±l.
Peakvantarv n võib omada positiivseid täisarvulisi väärtusi.
Orbitaalkvantarv ehk kõrvalkvantarv l võib omada täisarvulisi väärtusi
alates nullist kuni ühe võrra väiksema väärtuseni kui n. See tähendab, et
tõusunurga suunas ei pruugi toimuda ühtegi võnget, võib toimuda üks, kaks
jne, võnget, kuid vähemalt üks võnge peab jääma raadiuse suunale, muidu
kaotaks aatom raadiusemõõtme, mis on ju ainuke pikkuse dimensiooniga suurus
kolme polaarkoordinaadi hulgas.
Magnetkvantarv m on allutatud kõrvalkvantarvule ja võib omada väärtusi
alates –l läbi nulli kuni +l –ni. Keemikud on mugavuse mõttes tähistanud
kvantarvude väärtusi ka tähtedega:
Peakvantarvu jaoks: K(n=1); L(n=2); M(n=3); N(n=4) jne
kõrvalkvantarvu jaoks: s(l=0); p(l=1); d(l=2) f(l=3).
Joonisel on illustreeritud rariaalkomponendi R kuju sõltuvalt
peakvantarvu n ja kõrvalkvantarvu l väartustest. Kui n=1 siis on elektronil
ainult üks laine ja see peab olema raadiusesuunaline (l=0). Laine ei ole
aga siinuseline, vaid muutub väga kõrgeks ja teravaks tuumale lähedases
ruumiosas, seoses sellega, et seal potentsiaaliauk kukub kiiresti sügavaks.
Kui n=2 ja l=0, on raadiusesuunas kaks lainet, kui n=3 ja l=0, on
raadiusesuunas kolm lainet. Nüüd on eriti selgesti näha, kuidas
potentsiaali langemine tuuma suunas põhjustab lainepikkuse pidevat
lühenemist. Pange tähele ka, kui kaugele aatomi tsentrist elektroni lained
ulatuvad: ühe võnke puhul umbes 4 A (A=Ongström, = 10-10 m= 0.1 nm), kahe
võnke puhul 6A ja kolme puhul 12 A. See arv kahekordselt on vesinikuaatomi
läbimõõt sõltuvalt sellest missugusel energianivool elektron asub (kas
n=1,2 või 3). Seega, põhisesundis n=1 katab aatomi lainefunktsioon
diameetri umbes 8A, kuid ergastatud seisundis (n=2 või 3) kuni 20 A. Kui l
=1, on raadiuse suunas üks võnge vähem, kui l=2 siis kaks võnget vähem,
kuid aatomi üldmõõt sellest ei muutu, vaid raadiusesuunaline lainepikkus
vastavalt suureneb. (Kuidas see ühtib väitega, et muutujate lahutamine
tähendab eeldust, et võnked kolmes koordinaadis on sõltumatud??).
Eelmises lõigus leidsime, et elektroni leidmise tõenäosuse tihedust
esitab lainefunktsiooni ruut (lainefunktsioon võib olla ka negatiivne, kuid
ruut on ikka positiivne). Tõenäosuse tihedus korrutatud vastava ruumi
suurusega annab elektroni leidumise tõenäosuse selles ruumiosas. Juhul kui
l=0 on lainefunktsioon maksimaalne kohal r=0, seega tuuma vahetus ümbruses
on elektroni tõenäosustihedus suurim. Kuna aga tuum ise on tohutult pisike
(ruum väheneb raadiuse kuubiga!) siis elektroni leidumise tõenäosus otse
tuumas on ikkagi väga-väga väike, nagu näha ka vastavalt jooniselt.
Sõltuvalt raadiusesuunaliste leinete arvust moodustab elektron
tõenäosuspilve millel on üks, kaks, kolm või enam suurma tihedusega kohta,
tuumast keskmiselt seda kaugemal, mida suusrem on n. See langeb kokku Bohri
aatomi analüüsil saadud tulemusega, et elektron võib tiirelda kindlatel
kaugustel, seda kaugemal, mida suurem on energia, kuid lainemehaanikast
näeme, et elektroni orbiit ei ole mitte kindel joon vaid muutuva tihedusega
tõenäosuse pilv.
Pilt läheb veelgi huvitavamaks kui katsume lainefunktsiooni kolme
koordinaadi suunalisi komponente korraga ette kujutada, seega aatomi
ruumilist pilti ette kujutada. Aatom on lihtne kerakujuline ainult juhul
kui võnked on ainult raadiuse suunas (l=0 ehk s-orbitaalid). Kui l=1 (p-
orbitaalid) on tõusunurga suunas ka võnge, mis moonutab kerakujulise
tõenäosuspilve kaheksakujuliseks. See kaheksakujuline moodustis võib ruumis
paikneda kolmel viisil, vastavalt m=-1,0+1, nii nagu näidatud joonisel. Kui
välist magnetvälja ei ole, siis need erinevad paiknemisviisid koguenergiat
ei mõjuta. Magnetvälja olemasolul aga mõjutavad ja vastavalt jagunevad
spektrijooned kolmeks. Siit siis kolmanda kvantarvu nimetuski -
magnetkvantarv. Kui l=2 ja tõusunurga suunas on kaks võnget, tekivad veelgi
kummalisema kujuga moodustised viiel erineval moel. Seega, joonisel ??
toodud raadiusesuunalised tõenäosuspilved l väärtuste 1 ja 2 jaoks on
kehtivad nendes ristlõigetes kus raadiusesuunaline tõenäosus on
maksimaalne.
Milleks me bioloogilises füüsikas tungime nii sügavale
kvantmehaanikasse? Selleks, et mõista, et ainult tänu aatomite lainelisele
ehitusele on elu võimalik. Elusstruktuurid moodustuvad keerukast aatomite
süsteemist, mis seostuvad üksteisega kindlates järjestustes ja kindlates
suundades. Ruumiline struktuursus on ju valgu molekuli peamine omadus. Kui
kõik valku moodustavad aatomid oleksid kujult ümargused nagu herneterad
(näit. nagu Bohri aatomi ringikujulised orbiidid), siis ei oleks aatomite
sidumine kindlates suundades võimalik. Ei ole ju herneteradest võimalik
kokku panna keerulisi ehitisi, küll on see aga võimalik näiteks Logo
elementidest, mis ei ole ümargused. Isegi lihtne vee molekul näeks siis
hoopis teistsugne välja kui aatomid oleksid ümargused. Tänu sellele, et p
ja d orbitaalid (l=1 ja 2) moodustavad ruumilis kujundeid millel on
väljavenitused kindlates suundades, haakuvad nendega teiste aatomite p- ja
d-elektronid moodustades kindlasuunalisi sidemeid. Niimoodi, üksteisest
kindlatel kaugustel ja kindlates suundades paigutatud aatomitest ehituvad
üles elusaine molekulid, nendest omakorda rakud ja koed ja organismid.
Aatomite paigutus molekulis ja molekulide omavaheline haakumine määrabki
selle kuidas elusaine üles ehitatakse. Seega, elu olemust saab mõista
ainult mõistes kvantmehaanika põhialuseid.
Mitme elektroniga aatomid
Kuigi vesinik on üks tähtsamaid looduses esinevaid elemente, on bioloogias
siiski tähtsad veel süsinik, lämmastik, hapnik ja veel mitmed teised
elemendid. Süsinikul on kuus, lämmastikul seitse ja hapnikul kaheksa
elektroni. Kvantmehaanilist lainevõrrandit saab aga täpselt lahendada
ainult kahe keha jaoks, seega ühe elektroni ja ühe prootoni jaoks. Mitme
elektroniga aatomites on oluline veel elektronide omavaheline mõju ja selle
täpne arvestamine ei ole võimalik. Meie siin unustame elektronide
vastatstikuse mõju ja kujutame ette, missugune oleks mitme elektroniga
aatom kui elektronid omavahel üksteist ei mõjutaks vaid kõik oleksid
vastasmõjus ainult tuumaga.
Kui elektrone on mitu, on ka prootoneid mitu ja vastavalt on tuuma
laeng suurem ja elektriline külgetõmme tugevam. Seega on tuuma ümbruses
‘potensiaaliauk’ sügavam (potentsiaalne energia langeb kiiremini) ja
põhisesundi n=1 lainefunktsioon koondub tuumale lähemale. Samuti on tuumale
lähemal ka teised, kõrgemale energiale vastavad orbitaalid. Kuidas aga
paigutuvad elektronid, kas kõik ühel, kõige madalama energiaga orbitaalil?
Ei, selgub, et täpselt ühesuguse lainefunktsiooniga elektrone saab aatomis
olla ainult üks. See on nn. Pauli printsiip, mille kohaselt elektronid
jaotuved erinevate energianivoode vahel täites need madalamast kõrgemani.
Seega peaks igale orbitaalile mahtuma ainult üks elektron, mis on
iseloomustatud kolme kvantarvuga n, l, m. Selgub aga, et elektronil on veel
üks omadus, mis lisab veel ühe kvantarvu, spinn s, mis kirjeldab elektroni
sisemine pöörlemise suunda. Kuigi on raske ette kujutada kuidas üks
tõenäosuspilv veel sisemiselt iseenese ümber pöörleb nagu värten (inglise
keeles “spin”) ilmneb see sellest, et elektronil on magnetmoment. Iga
elektron on nagu pisike magnetike, mis võib olla suunatud tuuma magnetvälja
suhtes (ka tuumal on magnetmoment) kahes erinevas suunas. Vastavatest
võrranditest tuleneb selle kvantarvu väärtuseks kas +1/2 või –1/2. Ühele ja
samale orbitaalile mahub seega kaks elektroni, üks spinniga =1/2 ja teine
spinniga –1/2. Nüüd on meil käes kõik tingimused, et asuda üles ehitama
paljuelektroniliste aatomite elektronkatte struktuuri: elektrone tuleb
juurde lisada orbitaalidele järjekorras, alates madalamate energiatega
seisunditest kõrgemate suunas, mahutades igale orbitaalile mitte rohkem kui
kaks elektroni. Teeme selle programmi läbi kuni teise perioodi (n=2) kõigi
nivoode täitumiseni, sest see kaasab ka bioloogiliselt tähtsad elemendid C,
N, O.
H: n=1;l=0;m=0;s=1/2 üks paardumata spinniga elektron, keemiliselt
aktiivne
He: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2 kõik elektronid paardunud spinnidega, inertgaas
Li: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=0;m=0;s=1/2 üks paardumata spinniga elektron, keemiliselt
aktiivne
Be: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=0;m=0;s=1/2
n=2;l=0;m=0;s=-1/2 kõik elektronid paardunud spinnidega,
keemiliselt inertne
B: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=0;m=0;s=1/2
n=2;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=-1;s=1/2 üks paardumata spinniga elektron, keemiliselt
aktiivne
C: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=0;m=0;s=1/2
n=2;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=-1;s=1/2
n=2;l=1;m=0;s=1/2 kaks paardumata spinniga elektroni,
keemiliselt aktiivne
N: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=0;m=0;s=1/2
n=2;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=-1;s=1/2
n=2;l=1;m=0;s=1/2
n=2;l=1;m=1;s=1/2 kolm paardumata spinniga elektroni,
keemiliselt aktiivne
O: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=0;m=0;s=1/2
n=2;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=-1;s=1/2
n=2;l=1;m=-1;s=-1/2
n=2;l=1;m=0;s=1/2
n=2;l=1;m=1;s=1/2 kaks paardumata spinniga elektroni,
keemiliselt aktiivne
F: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=0;m=0;s=1/2
n=2;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=-1;s=1/2
n=2;l=1;m=-1;s=-1/2
n=2;l=1;m=0;s=1/2
n=2;l=1;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=1;s=1/2 üks paardumata spinniga elektron, keemiliselt
aktiivne
Ne: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=0;m=0;s=1/2
n=2;l=0;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=-1;s=1/2
n=2;l=1;m=-1;s=-1/2
n=2;l=1;m=0;s=1/2
n=2;l=1;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=1;s=1/2
n=2;l=1;m=1;s=-1/2 kõik elektronid paardunud spinnidega,
inertgaas
Ülaltoodud orbitaalide täitumise järjekorrast näeme, et kõigepealt täituvad
orbitaalid ühe elektroniga ja alles nende võimaluste ammendumisel asub
teine, vastupidise spinniga elektron samale orbitaalile.
Illustratsiooniks toome täieliku perioodilise süsteemi tabeli, mis
näitab orbitaalide täitumise järjekorda ka kõrgema n väärtuse jaoks kui
n=2. Põhimõte on see, et s-orbitaalidele (l=0) mahub kaks elektroni
2x(m=0); p-orbitaalidele (l=1) mahub kuus elektroni 2x(m=-1,0+1); d-
orbitaalidele (l=2) mahub kümme elektroni (m=-2,-1,0,1,2). Aga juba alates
komanda perioodi lõpust tekivad ebaregulaarsused, mis on põhjustatud
sellest, et võnked tõusunurga suunas on mõnevõrra energiarikkamad kui
võnked raadiuse suunas. Seetõttu pärast Argooni (Ar) oleks oodata
elektronide asumist 3d nivoole, kuid K ja Ca aatomites täituvad enne
hoopiski 4s orbitaalid, mis asuvad energeetiliselt madalamal kui 3d
orbitaalid. Alles seejärel täituvad järjekorras 3d orbitaalid, jättes 4s
orbitaalile kogu aeg 2 (või üks ) elektroni. Seetõttu omab terve rida
aineid Sc kuni Zn –ni keemiliselt sarnaseid metallilisi omadusi ja terve
see rida kannab ühist nimetust muldmetallid. Samasugused ebaregulaarsused
korduvad veelgi enam kõrgemate n väärtuste puhul. Bioloogias on olulised
elemendid Fe, Cu, Mn, mis võivad kergesti loovutada ühe või kaks väliskihi
(n=4) elektroni, kuigi eelmises, 3d kihis on veel vabu orbitaale. Neid
viimaseid, vabu 3d orbitaale, on loodus osanud kasutada nende aatomite
sidumiseks valkudega, et neid paigutada kindlatele kohtadele ja seal
fikseerida, samal ajal kui n=4 kihi elektrone saab aatom loovutada või
juurde võtta. Seetõttu on nimetatud metallid kõige tüüpilisemad elektroni
ülekandjad, olles kinnistatud nn. tsütokroomidesse (Fe) või teistesse
valkstruktuuridesse (Cu, Mn).
Huvitaval kombel on plaatina ja kulla (Pt, Au) väliskihi struktuur
sarnane kaaliumi (K) omaga. Viimane on aga keemiliselt väga aktiivne, samal
ajal kui kuld võib kolmsada aastat merevees püsida tuhmumata.
Molekulide moodustumine – kovalentne side aatomite vahel.
Orbitaalil üksi asuv elektron omab magnetmomenti ja püüab paarduda teise,
vastassunalise spinniga elektroniga, nii nagu kaks pulkmagnetit tõmbuvad
kui põhja- ja lõunapoolused satuvad vastatstikku. Seetõttu on keemiliste
elementide aatomid ja ka molekulid, mille koosseisus on paardumata
elektrone, keemiliselt aktiivsed ja neid nimetatakse radikaalideks. Kui
lähedal juhtub olma teine aatom, millel vaba elektron on vastasmärgilise
spinniga, võiksid need kaks elektroni põhimõtteliselt paari moodustada,
kuid selleks peavad nad enne teineteisele küllat ligidale saama. Probleem
on selles, et dipoolsed magnetid (kahepooluselised) magnetid tõmbuvad
piisavalt tugevasti ainult väikeselt kauguselt, välised elektronid aga
tõukuvad omavahel juba suurelt kauguselt. Seetõttu molekuli moodustumiseks
peavad elektronkatted alguses lähenedes isegi teatud määral tõukejõudude
poolt moonutatud saama, enne kui tõmbuvad jõud piisava tugevuse saavutavad.
Molekuli moodustumine on kvantmehaaniliselt väga keerukas protsess ja
vastavaid lainevõrrandeid täpselt lahendada ei ole niikuinii võimalik.
Näiteks on niisuguses kahe paardunud elektroni lainefunktsioonis elektroni
maksimaalne tõenäosustihedus otse tuumade vahel. Seega, lisaks spinnide kui
magnetite vastastikusele tõmbele on oluline veel mõlema tuuma tõmme nende
vahel asuva elektroni suhtes. Meie kursuse piires on piisav mõista, et
keemilise sideme kahe aatomi vahel saavad moodustada ainult kaks paardumata
elektroni, millel on vastassuunalised spinnid, ja paardunud elektronidest
tingitud tugev aatomitevaheline tõmme on mõjus ainult väikestel kaugustel.
Vaatleme molekuli moodustumist energeetilisest aspektist. Kui kaks
aatomit asuvad kaugel, võib nende omavahelise mõju potentsiaalse energia
lugeda nulliks (mõju ei ole). Lähenedes hakkab tunda andma kõigepealt
väliste elektronide omavaheline tõukumine. Seda tõukejõudu ületades
potentsiaalne energia suureneb, muutudes positiivseks. Potentsiaalse
energia suurnemine toimub loomulikult kineetilise energia vähenemise arvel,
s.t. molekulid lähenevad inersi tõttu ja lähenedes kiirus aeglustub. Kui
algkiirus oli küllalt suur võivad elektronid üksteisele nii lähedale
sattuda (potentsiaalne energia saavutab maksimumi), et antiparalleelsete
spinnidega elektronide tõmme hakkab domineerima Seevastu elektronpilvede
tõukumine isegi väheneb, sest elektronid asuvad nagu üksteise sees,
orbitaalid osaliselt kattuvad. Tõmbejõu sfääris hakkab potentsiaalne
energia uuesti kahanema, kineetiline seevastu aga suurenema. Tuumade teatud
omavahelise kauguse puhul saabub potentsiaalse energia miinimum, aga
muidugi uuesti kineetilise energia maksimum. Kui selles seisus aatomipaar
energiat ära ei anna, siis stabiilset molekuli ei moodustu. Põrgates
naabermolekuliga või energiakvanti kiirates saab ülearusest energiat
vabaneda ja siis stabiliseerub potentsiaalse energia miinimumi seisund.
Pange tähele, et vabanenud energia muutub just kogu molekuli energiaks,
mitte uuesti nendesamade aatomite kineetiliseks energiaks, mis reaktsiooni
astusid. Reageerivad aatomid on oma kineetilise energia abil ületanud nn.
aktivatsioonienergia barjääri ja moodustanud stabiilse molekuli, vabanedes
seejuures ülearusest energiast. Uus energiamiinimum, mis vastab molekuli
olekule, võib olla kas madalam või kõrgem kui aatomite esialgne
potentsiaalse energia nivoo (null). Kui lõppnivoo on madalamal kui
algnivoo, siis selles reaktsioonis vabanes energiat (ka see muutus
molekulide liikumise energiaks, soojuseks). Kui lõppnivoo on kõrgem kui
algnivoo, siis reaktsioonis kokkuvõttes neeldus kineetilist energiat, s.t.
osa aatomite kineetilisest energiast ei muutunud mitte molekulide
kineetiliseks energiaks, vaid jäi molekulisiseseks potentsiaalseks
energiaks. Niisuguse reaktsiooni tulemusena segu jahtub, molekulide
kineetiline energia väheneb.
Ülaltoodud mudel ei kehti mitte üksne molekuli moodudstumise puhul
aatomitest vaid ka teiste keemiliste reaktsioonide puhul, mis toimuvad
molekulide vahel ja mille tulemusena moodustuvad teised molekulid.
Molekulide moodustumise puhul aatomitest on molekuli potentsiaalne energia
tavaliselt negatiivsem kui reageerivate aatomite oma (energiat vabaneb).
Molekulidevaheliste reaktsioonide puhul esineb nii negatiivsemat kui
positiivsemat lõppseisundit.
Paarduda ja kovalentseid sidemeid moodustada võivad omavahel nii
erinevate aatomite s-p ja d-elektronid kui ka s, p, ja d elektronid
kombinatsioonides. Vastavalt paarduvate elektronide orbitaali kujule võivad
sidemed kujuneda erineva pikkusega ja erinevate nurkade all. Lihtsaim juht,
kui paarduvad kaks s-elektroni, annab tulemusena hantlikujulise molekuli,
kus kaks kerakujulist orbitaali on osaliselt ühinenud (Joonis). s-
elektronide paardumisel moodustun nn. ?-side, millel ei ole kindlat suunda.
p-elektronidel on kaheksakujulised orbitaalid ja need võivad s-elektroniga
paarduda otstest. Sel juhul on ?-side kaheksakujulise p-orbitaali otsa
pikenduseks, suund on määratud p-orbitaali poolt. p-orbitaalid võivad
omavahel paarduda kahel viisil, kas ka otstest (sel juhul on sideme
nimetuseks ikkagi ?-side), või külgedelt. Viimasel juhul kutsutakse sidet ?-
sidemeks. ?-sideme oluline omadus on see, et ta ei lase sidet moodustavaid
aatomeid omavahel pöörelda, kuna ?-side seda lubab. ?-sideme näiteks s- ja
p-orbitaali vahel toome vee molekuli, kus s-orbitaaliga vesiniku elektron
on paardunud p-orbitaaliga hapniku elektroniga (joonis). ?-sidemete näiteks
toome lämmastiku molekuli, milles N aatomites on kolm omavahel risti olevat
paardumata p-orbitaali. Üks neist paardub teise N aatomi p-elektroniga ?-
sideme abil, kuna kaks paarduvad ?-sidemete kaudu, moodustades nii
kolmekordse sidemega seotud (väga stabiilse, raskesti lõhutava) molekuli.
Võimalike kovalents-sidemete arv aatomis (aatomi võimalik valents).
Aatomite põhiseisundis (madalaimal energiatasemel) on nende kovalents
võrdne paardumata elektronide arvuga, mis oleks
H: 1
He: 0
Li: 1
Be: 0
B: 1
C: 2
N: 3
O: 2
F: 1
Ne: 0
Tegelikult aga ei ole valentssidemete arv alati niisugune ja võib olla
isegi muutlik sõltuvalt ühenditest. See tuleneb asjaolust, et 2s
elektronpaar ei ole mitte väga tugevasti omavahel seotud ja termiline
energia on juba võimeline seda sidet lõhkuma, viies ühe 2s elektronidest
üle 2p seisundisse. Selle tulemusena on näiteks Be ja ka Ca tavaliselt
kahevalentsed, kuigi mõlemad sisaldavad põhiseisundis 2s paari ja mitte
ühtegi p-elektroni. Sama lugu on süsinikuga: see peaks teoretiliselt olema
kahevalentne (2s paar ja kaks paardumata 2p elektroni), kuid on peaaegu
kõigis ühendites, seljuures kõigis orgaanilistes hendites neljavalentne.
Üks 2s elektronidest ergastub kolmandale vabale 2p orbitaalile ja kõik neli
teise nivoo elektroni osutuvad mittepaardunuiks. Kui niisugusest
ergastusseisundist kiiresti moodustuvad valentssidemed, nii et lisandunud
tekkinud sidemetest vabaneb rohkem energiat kui kulus ergastusele, siis on
niisugune vahepealse ergastuse kaudu moodustunud neljavalentne lõppseisund
energeetiliselt madalalmal tasemel kui ergastumata seisundist moodustunud
kahevalentne lõppseisund. Kuna valentssidemete moodustumisel vabanenud
energia võib olla mitmesugune sõltuvalt moodustunus ühenditest, siis ei ole
ka aatomi valents mingi kindel suurus. Küll aga on kindlam suurus
maksimaalne võimalik valents, mis on määratud antud peakvantarvule n
vastavate s ja p-nivoode üldhulgaga, eeldades, et teatud
ergastusseisundites võivad need kõik olla asustatud paardumata elektroniga.
Niisiis oleks teise perioodi elementide maksimaalne valents 4 (1 s ja 3p
orbitaali) ja kolmanda perioodi elementidel 6 (1 s ja 5 p-orbitaali).
Kahjuks tekib ka siin erandeid juhtudel kus kõrgema n väärusega s-
orbitaalid on energeetiliselt madalamad kui uhe võrra madalama n-ga d
orbitaalid.
Doonor-aktseptorside. Valents-sideme polariseeritus. Vesinikside.
Siiani oleme eeldanud, et kovalents-sideme moodustavad paardudes
elektronid, millest üks kuulub ühele ja teine teisele aatomile.
Kvantmehaanika lainevõrrandid aga ei tunnusta elektroni ‘kuuluvust’ vaid
ainult tema kvantarve (energiaseisundeid). Seetõttu on peaaegu samaväärselt
tõenäone juht, kus ühe aatomi elektronpaar moodustab sideme kasutades teise
aatomi tühja orbitaali. Tähtis on ainult, et kuuludes kahele aatomile
korraga omaks see paar madalamat energiat kui kuuludes ainult ühele
aatomile. Niimoodi moodustuvad nn. koordinatsioonilised ?-sidemed, mis
kasutavad näiteks Fe aatomi vabu d-orbitaale, et fikseerida seda aatomit
erilises valkstruktuuris, nn. tsütokroomis, kus ta osaleb elektroni
ülekandjana. Tsütokroomidel on bioenergeetikas esmajärguline roll.
Kui elektronpaar on moodustanud valents-sideme ja kuulub seega kahele
aatomile korraga, siis see ei tähenda sugugi, et elektronid kuuluvad
kummalegi aatomile võrdselt. Aatomitel on omadus tõmmata kogu paari
suuremal või vähemal määral omaenda orbitaalile, jättes naabri orbitaali
vastavalt tühjemaks. Selle tulemusena omandab eltronpaari tõmbav aatom
negatiivsema kogulaengu kui tema partner ja seda omadust iseloomustatakse
aatomi elektronegatiivsusena. Hapnik on üks elektronegatiivsemaid elemente
(Tabel), seega ühendites tõmbab ta elektronpaari tugevasti enesele, jättes
partneri orbiidi osa aega tühjaks. Niimoodi kovalentne side polariseerub.
Polariseerumise äärmuslikuks väljenduseks on nn. ioonside, kus üks aatom on
elektroni täielikult teisele üle andnud. Tüüpilised ioonsidemega seotud
ühendid on leelismetallide soolad, nagu NaCl, kus Na on kaotanud elektroni
ja muutunud positiivseks iooiks, Cl aga liitnud elektroni ja muutunud
negatiivseks iooniks.
Kovalents-sideme polariseerituse ja doonor-aktseptor-sideme
kombinatsioon on bioloogias ülitähtis vesinikside. Vesinikside moodustub
positiivse osalaenguga aatomi vabaksjäänud orbitaali ja mingi teise aatomi
olemasoleva elektronpaari kaudu. Näiteks vees on positiivse osalaenguga
aatomiks vesinik, millelt hapnik on elektroni osaliselt ära tõmmanud, ja
millel seetõttu 1s orbitaal on osa aega elektroniga asustamata. Mingi vee
molekuli hapnikuaatomi 2s või 2p elektronpaar võib moodustada doonor-
aktseptorsideme teise vee molekuli vesiniku osaliselt vaba orbitaali
kasutades ajal mil see on vaba. Niimoodi saavad tekkida kovalentse
iseloomuga sidemed erinevate vee molekulide vahel, mis neid seovad.
Tulemusena on vesi vedelas olekus looduslikel temperatuuridel samal ajal
kui tema analoog H2S on gaasiline. Vee juurde pöördume tagasi vedelike
vaatlemisel. Teiste vesiniksidemete näidetena bioloogias on valgu
sekundaarstruktuuri kujundavad vesiniksidemed ja DNA kaksikspiraali
kujundavad vesiniksidemed.
Orbitaalide hübridisatsioon
Nagu öeldud, on süsinik tüüpiliselt neljavalentne, sest üks tema 2s
elektronidest ergastub 2p nivoole ja tekib neli paardumata elektroni, kolm
2p nivool ja üks 2s nivool. Nende orbitaalid peaksid olema erineva kujuga,
mistõttu ka koos süsinikuga tekkinud molekulid ei tohiks olla
sümmeetrilised. Vaadeldes aga tüüpilist süsinikühendit metaani (CH4) on
leitud, et kõik neli H aatomit on täiesti identse energiaga seotud ja
paigutatud sümmeetriliselt tetraeedri (ruumilise nelitahuka) tippudesse.
Seega peavad kõik neli orbitaali olema täiesti sarnase kujuga. See on fakt,
mis otse ei tulene kvantmehaanilisest teooriast ja millele tuli otsida
seletust, püüdes leida loogilisi võimalusi erinevate orbitaalide
kombineerumiseks. Leitigi võimalus, et uued sümmeetrilised orbitaalid on
kõik sarnased kombinatsioonid nelja erineva orbitaali lainefunktsioonidest,
erinevused on ainult selles, missugused p-orbitaali funktsioonid liidetakse
ja missugune lahutatakse (s-orbitaal on summas alati positiivselt).
Sisuliselt tähendab see, nagu erinevate orbitaalide lainetused liituksid ja
lahutuksid erinevates kombinatsioonides, kuid igas kombinatsioonis esinevad
kõigi nelja orbitaali lainefunktsioonid. Niisugune orbitaalide
hübridisatsiooninähtus on üsna sagedane ja isegi vee molekulis ei ole
hapniku 2p orbitaalidega moodustunud s-sidemete vaheline nurk mitte 90°
vaid 104.5°. See näitab, et hapniku kaks vesinikuga paardunud orbitaali ja
kaks hapniku enese paari (2s ja 2p paarid) hübridiseeruvad kõik võrdseteks
sarnase kujuga orbitaalideks mis suunduvad tsentrist tetraheedri
nurkadesse, sarnaselt nagu metaani molekulis, kuid kahel puudub partner H-
aatom. Selle tulemusena on doonor-aktseptor iseloomuga vesiniksidet
võimelised moodustama kas elektronpaari, nii 2s kui 2p paarid. Nendest
näidetest on näha, kuidas tekkiva ühendi sümmeetrilisus võimaldab saavutada
ühendmolekuli kõige madalamat energiaseisundit, hoolimata sellest, et
hapniku enese (samuti kui süsiniku) elektronstruktuur ei ole minimaalse
energia seisundis. Teisest küljest tähendab see ka seda, et individuaalsete
aatomite kvantmehaanilisi orbitaalide kujusid ei saa võtta aluseks
keerukamate ühendite stereo-struktuuri arvutamisel, vaid määravaks jäävad
keerulise molekuli struktuurist tulenevad energiaseisundid, mis on
minimaalsed tavaliselt maksimaalse sümmeetriaga olekutes.
Resonants
Resonantsi olemuse selgitamiseks vaatleme lihtsat struktuuri, nitraatiooni
NO3-(joonis). Selles esineb lämmastik neljavalentsena, olles saatnud ühe
oma 2s elektronidest praktiliselt täielikult hapnikule ja vabastades nii
maksimaalse koguse valents-sidemeid. Kuigi niimoodi tekkinud struktuur
peaks olema ebasümmeetriline, on katsed näidanud, et kõikide O-aatomite
seoseenergiad on võrdsed. See on võimalik kui kaksik- ja üksiksidemed on
pidevas vaheldumises, nii et kaksiksidet ei saa lugeda kuuluvaks kindlale O-
aatomile. Sarnane näide on ka bensooli molekul, kus niisugune kaksik- ja
üksiksidemete vahelduvus katab pikema ringi, sidudes tervelt kuus C
aatomit. Kvantmehaanilises käsitluses tähendab resonants-ringi või ka
lineaarse resonants-ahela lainefunktsioon, sarnaselt hübridisatsiooniga,
lineaarkombinatsiooni kõikidest osalevatest lainefunktsioonidest. Seejuures
on resoneeruvad sidemed tunduvalt tugevamad kui ilma resonantsita. Samuti
võib resoneeruva lainefunktsiooni ruumiline ulatus olla tunduvalt pikem kui
ühel aatomil. Vastavalt pikeneb ka neelatava (kiirtava) elektromagnetilise
kiirguse lainepikkus. Seetõttu on loodus kasutanud resoneeruvaid struktuure
nähtavat valgust neelavate pigmendimolekulide ehitamiseks. Fotosünteesis
kasutatavate pigmentide, klorofülli ka karotenoidide molekulides on kas
ringstruktuuriga või lineaarsed reonants-ahelad ja need ained omavad
neeldumisribasid nähtava valguse piirkonnas, samal ajal kui tavalised
valgud, aminohapped ja enamik teisi bioloogilisi molekule neelavad
ultravioletses piirkonnas.
Üleminekumetallide kompleksid
Üleminekumetallideks nimetatakse esimese suure perioodi (n=3) metalliliste
omadustega aineid, millel järgmise perioodi (n=4) 4s nivool asub üks või
kaks elektroni, kuid samal ajal on vabu orbitaale veel 3d nivool (Sc, Ti,
V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni, Cu). Neist bioloogias omavad elektroni edastajatena
suurt tähtsust Mn, Fe, ja Cu. Bioloogilistes struktuurides on oluline, et
aktiivsed aatomid, mis tegelikult osalevad metaboolsetes protsessides,
oleksid kinnstatud ja asuksid vajalikul kaugusel ja vajalikus asendis oma
metaboolsete partnerite suhtes, millega neil tuleb suhelda näiteks
elektrone vastu võttes ja edasi andes või mõnel muul moel. Valkstruktuurid
täidavadki seda ülesannet, et kinnistavad metaboolselt aktiivsed aatomid
vajalikesse asukohtadesse. Loomulikult ei saa valkudega seotus välistada
aatomite termilist võnkumist ümber keskasendi, kuid välistab pöörlemise ja
kindlasti translatoorse liikumise. Aatomite kinnistamiseks saab kasutada
kovalentseid sidemeid, mida peab aga olema piisaval hulgal, et takistada
liikumist kõikides suundades, jättes samal ajal mõned valentsid vabaks ka
metaboolse aktiivsuse tarbeks. Nendele tingimustele vastavadki kolmanda
perioodi üleminekumetallid, millel on piisavalt täidetud või täitmata d-
orbitaale (kokku viis), et aatomit kinnistada. Seejuures sidemete
sümmeetria kindlustatakse s, p ja d-orbitaalide hübridisatsiooniga. Tabelis
toome mõned andmed bioloogiliselt oluliste aatomite jaoks.
Elektronkonfiguratsioon Mn Fe Cu
M 3d54s2 3d64s2 3d104s1
M2+ 3d5 3d6 3d9
M3+ 3d4 3d5 -
Ionisatsioonipotentsiaal (eV)
esimene 7.43 7.87 7.72
teine 15.64 16.18 20.29
kolmas 33.69 30.64 37.08
Iooni raadiused (A)
M 1.17 1.16 1.17
M2+ 0.80 0.77 0.72
M3+ 0.66 0.63 -
Orbitaalide hübridisatsioon ja aatomi geomeetriline struktuur
Hübridisatsioon Aatomi kuju Sidemetevaheline nurk
sp Lineaarne 180°
sp2 Tasapind, kolmnurk 120°
sp3 Tetraeeder 109°28’
dsp2 Tasapind, ruut 90°
dsp3 Trigonaalne kaksikpüramiid 90°
120°
d2sp3 Oktaeeder 90°
Rauaaatomi kasutamise näiteks bioloogias on heemid, kus Fe aatom
(klorofüllis aga raua asemel Mg) asetseb tasapinnalise porfüriiniringi
keskel, olles kinnitatud koordinatsioonisidemetega. Heemid moodustavad
aktiivosa sellistes valksüsteemides nagu hemoglobiin, müoglobiin,
tsütokroomid ja mõndes fermentides, nagu katalaas, peroksüdaas. nII nagu
aromaatilistes molekulides (näit. bensool) tavaliselt, on ka
porfüriiniringis pikk resonants-ahel, mille tulemusena elektronid on
‘delokaliseeritud’ ja nende lainefunktsioonid haaravad tervet ringi. Ringis
osalev N aatom, sõltuvalt asukohast, on ise ringi seotud kas kahevõi kolme
sidemega ja moodustab sideme rauaga vastavalt kas ühe paardumata elektroni
või oma 2s elektronpaari abil, doneerides selle raua vabale 3d orbitaalile.
Nii fikseeritakse N aatom neljast nurgast nelja ligandiga. Viiendaks
ligandiks ristisuunas on tihti aminohappe histidiini üks N aatomitest mis
doneerib oma elektronpaari teisele Fe 3d orbitaalile. Niisiis on Fe aatom
fikseeritud jättes selle 4s2 elektronid vabaks bioloogilistereaktsioonide
tarbeks. Tavaliselt on need elektronid lahkunud ja aatom asub F2+
seisundis. Hemoglobiinis, mille molekulmass on 65000, on neli subühikut
nelja heemiga. Müoglobiinis on üksainus subühik ühe heemiga. Hemoglobiinis
on kuuendaks ligandiks kas hapnik või vesi, sõltuvalt kas hemoglobiin on
hapnikuga rikastatud või mitte. Ka siin moodustub side sel teel, et hapnik
doneerib oma elektronpaari Fe orbiidile, jättes O2 molekuli (või H2O
molekuli) terveks. Vee ja O2 kõrval on seostumisaktiivsed veel CO ja NO,
kusjuures CO seostub müoglobiinile umbes 50 korda ja hemoglobiinile isegi
200 korda tugevamalt kui O2.
Tsütokroomides on Fe viis ligandi samad kui hemo- ja müoglobiinis,
kuid kuna tsütokroomid ei kanna molekule, vaid ainult elektrone, siis on ka
kuues suund seotud bioloogiliselt passiivse ligandiga, kasutades selleks
tavaliselt aminohappe metioniini S aatomi elektronpaari. Elektronide
vahetus toimub F2+/F3+ seisundite vaheldumise teel.
Peptiidside
Valkude struktuur on suuresti mäaratud peptiidsideme omadustega, mis seob
aminohapped pikaks ahelaks, polüpeptiidiks. Side moodustub ühe aminohappe
karboksüülrühma –COOH ja teise aminohappe aminorühma –NH2 vahel, vee
eraldumise teel, andes tulemuseks -CO-NH- sideme. Struktuurselt näeb side
välja järgmine:
Röntgenstruktuuranaüüs aga näitas, et C-N side, mille tavaline pikkus on
0.147 nm, on peptiidsidemes lühem, 0.132 nm. See tähendab, et ühekordse
sideme asemel moodustub tegelikult kahekordne side, vähemalt osaliselt.
Seletus on siin järgmine. Tänu oma elektronegatiivsusele tõmbab O aatom
kogu struktuuri elektronpilve eneda suunas järjekorras N->C->O. Selle
tulemusena O paardumata elektron saab endale paarilise ja üks
kovalentsetest sidemetest O-C vahel osaliselt katkeb. Selle asemel aga N
jääb ühest elektronist osaliselt ilma ja tema elektronpaar püüab uut
paarilist leida. See on saadaval C aatomis, mis kaotas sideme O-ga ja loob
uue sideme N-ga. See uus side aga vaheldub pidevalt vanaga, nii et
tegelikult on O=C=N süsteem seotud nagu pooleteise sidemega pidevalt.
Seejuures kõik kolm aatomit hübridiseeruvad ühesugusteks sp hübriidideks.
Orbitaalid O(sp2) ja C(sp2), samuti nagu C(sp2) ja N(sp2) kattuvad
pikisuunas, moodustades ?-sidemed. Kolm p-orbitaali N, C ja O aatomites
kattuvad külgsuunas ?-sidemetega risti ja moodustavad delokaliseeritud ?-
elektronide süsteemi. ?-sidemed keelavad C-N aatomite vahelisel sidemel
pöörlemise. Joonis näitab, kuidas lõpptulemusena O-C-N-H aatomid
paigutuvad ühte tasapinda, jäigalt fikseerides nende omavahelise asendi.
Pange tähele, et O ja H aatomid asuvad ahela vastaskülgedel (nn. trans-
konfiguratsioon), mis valgu sekundaarstruktuuri moodustumiseks on oluline.
Niisugused fikseeritud sidemed moodustavad ühe kolmandiku kogu peptiidahela
sidemetest. Pöörlemisvõimalus jääb alles kahel kolmandikul ülejäanud
sidemetest, aminohapete sisemistel C-N ja C-C sidemetel. Niisugune piiratus
jätab oma jälje valgu sekundaarstruktuurile. Kui ülejäänud sidemed
pöörduvad, tekib peagi olukord, kus iga mingi aminohappe O-aatom satub
piisavalt ligistikku järjekorras kolmanda aminohappe H-aatomiga, et nende
vahel moodustuks vesinikside (tänu ülalmainitud trans-konfiguratsioonile).
Need vesiniksidemed fikseerivad pöörlemis-sammu ja kokkuvõttes moodustub
aminohapetest spiraalne struktuur, nn. ?-spiraal (alternatiivne võimalus on
siiski ka nn. ?-voldik).
Seega, valgu moodustumisel osalevad kõik eespool kirjeldatud kovalents-
sidemete omadused, nagu ?- ja ?- konfiguratsioon, polariseeritus
(elektronegatiivsus), doonor-aktseptor-iseloom, hübridiseerumisvõime,
delokaliseerumine (resonants). Kuigi kvantmehaanika ei ole võimeline
täpselt ette ennustama kõiki neid kombinatsioone, on tema abil nende
esinemine vähemalt seletatav. See demonstreerib veel kord, kuivõrd olulised
on kvantmehaanilised nähtused elu alusena. Pealegi, tundub, et sedalaadi
kombineeritud sidemed võivad esineda ka molekulide vahel, avardades
molekulaarstruktuuri mõistet kõrgematele organisatsioonitasemetele, ja miks
mitte kuni organismi tasemeni välja. On ju väga raske uskuda, et
pärilikkuse detailid, nagu näojooned, kõnnak, häälekõla jne. on ainult
geenide ekspressiooni regulatsiooni tulemusel sünteesitud valkude erinevate
koguste kombineerumise tulemus. Ehk on siingi mängus suunatud süntees,
struktuuride laienemine kindlates suundades, mis on võimalik ainult
molekulidevaheliste sidemete suunatuse tulemusena. Kursuse järgnevates
osades vaatlemegi molekulide ühendusi, kuid siiski kõige lihtsamaid, neid
mida füüsika seaduste alusel veel küllalt hästi kirjeldada saab. Need on
gaasid, vedelikud ja tahkised üldises mõttes.
Gaasid
Aine on gaasilises olekufaasis kui molekulid ei ole omavahel seotud, vaid
liiguvad vabalt ruumis, elastselt põrkudes nii omavahel kui nõu seintega.
Elastsed põrked on niisugused, kus impulsi jäävuse seadus on rahuldatud,
s.t. molekulide liikumise energiast osa ei muutu molekuli siseenergiaks
(näiteks nagu piljardikuulide põrked). Nõu peab gaasi ümbritsema selleks,
et molekulid ei liiguks ruumis laiali lõpmatu kaugele. Niisugusel nõus
oleval gaasil on rida omadusi, mida saab mõõta ja mis on omavahel
füüsikaseadustega seotud. Need omadused iseloomustavad mitte enam
individuaalset molekuli, vaid molekulide kollektiivi tervikuna.
Gaaside näited. Toatemperatuuril on gaasilised ained näiteks H2, He,
N2, O2, F, Ne, Cl, Ar. Tähtsaim on õhk, mis on gaaside segu (ruumala
protsentides, kuiv õhk): N2 (28%), O2 (21%), Ar (1%), CO2 (0.037%).
Tavaliselt aga on õhus veel veeauru kuni 2-3%, vastavalt siis teiste
komponentide osa väheneb. Nagu näeme, võivad gaasid koosneda
üheaatomilistest (n. väärisgaasid), kahe- ja kolmeaatomilistest
molekulidest.
Gaasi mass. Gaasi hulga mõõtmiseks võib kasutada tema massi
kilogrammides. Kuna erinevate gaaside üksikmolekulid on erineva massiga,
siis erinevate gaaside puhul vastab ühele kg-le erinev hulk molekule.
Gaaside füüsikaliste omaduste määramisel on aga molekulide arv ruumiühikus
olulise tähtsusega. Seetõttu on massi mõõtühikuks sobiv valida niisugune,
mis jätaks molekulide arvu konstantseks (loomulikult ei ole siis mass kg-
des konstantne). Massi mõõdetaksegi seetõttu gramm-aatomites või gramm-
molekulides (gramm-molekuli kutsutakse lühidalt mooliks). Gramm-molekul on
aine hulk grammides, mis on arvuliselt võrdne selle aine molekulkaaluga.
Gramm-aatom on siis vastavalt aine hulk grammides mis on arvuliselt võrdne
selle aine aatomkaaluga. Aatomi ja molekuli kaalu määrab peamiselt
tuuma(de) kaal. Tuumas on nii prootonid kui neutronid, kusjuures element
(aine) on määratud prootonite je elektronide arvuga, neutronite arv ei ole
aga päris kindel. Erineva neutronite arvuga kuid sama prootonite arvuga
aineid nimetatakse isotoopideks, ja neil on vastavalt erinev aatom-mass.
Seetõttu tuleb erinevate isotoopide segu puhul gramm-mooli arvuliseks
väärtuseks lugeda keskmine aatom-mass. Aatom-massi ühikuks loetakse 1/12
süsiniku isotoobi 12C aatomi massist. See ühik on üsna lähedane vesiniku
aatomi massile (väike erinevus tuleb sellest, et prootoni ja neutroni
massid ei ole päris võrdsed, vesinikus aga neutron puudub). Keskmiste aatom-
masside näited (sulgudes tähtsamad isotoobid, nurksulgudes radioaktiivsed,
tehislikud):
H: 1.008(1,2,[3]); C: 12.011(12,13,[14]); N: 14.007(14,15); O:
15.999(16,17,18); P: 30(31,[ 32])
6800/1 98.89/1.108% 99.4/0.4%
99.76/0.037/0.204% 100%
Nagu näeme, on isotoopide segus domineeriv üks ja aatomkaalude erinevused
täisarvudest on suhteliselt väikesed. Gaasidena esinevad H2, N2 ja O2,
nende gramm-molekul on siis vastavalt 2, 28ja 32g ainet.
Kuna mooli mass suureneb proportsionaalselt ühe molekuli kaaluga,
siis on moolis alati ühepalju molekule, sõltumata molekuli massist. See arv
on 6.0228x1023 ja on tuntud Avogadro arvuna.
Gaasi olekuparameetrid
Kuna gaasis molekulid ei ole üksteisega seotud vaid liiguvad vabalt,
põrkudes omavahel janõu seintega, siis on gaasi ruumala alati määratud seda
mahutava nõu ruumalaga. Peale ruumala on gaasi olekuparameetriteks veel
rõhk ja temperatuur. Rõhk on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse
pinnaühikule mõjuva jõuga, ühikuks on N/m2 = Pascal (Pa). Gaasi rõhk
tuleneb sellest, et molekulid põrkuvad nõu seintelt tagasi, mõjutades
sellega seinu (Newtoni III seadus). Temperatuur iseloomustab gaasi
molekulide liikumise kineetilist energiat. Temperatuur on null kui
molekulid on paigal ja kasvab võrdeliselt molekulide ruutkeskmise kiiruse
ruuduga (E=mv2/2). Temperatuuri mõõdetakse Kelvinites (absoluutse
temperatuuri kraadides), igapäevases elus aga Celsiuse skaala järgi, kus
vee külmumistemperatuur loetakse 0° ja keemistemperatuur 100°. USAs
mõõdetakse temperatuuri Fahrenheiti skaala järgi, mille kohaselt 0°C=???°F
ja 100°C=???°F. Pange tähele, et ka temperatuuri puhul on ühikute süsteem
ebajärjekindel, temperatuur ei võrdu ühe ühikuga kui molekulide kineetiline
energia on üks J.
Gaasi olekuvõrrand
Kui gaasi ruumala vähendada sel teel, et nõu ruumala vähendatakse (näiteks
kui kolb liigub silindris või kui pall jääb auto ratta alla), siis rõhk
tõuseb pöördvõrdeliselt ruumala vähenemisega, nii et
Kui aga gaasi temperatuuri langetada jättes ruumala konstantseks, siis rõhk
langeb võrdeliselt absoluutse temperatuuriga:
Neid kahte valemit saab kombineerida ja konstandile saab leida
absoluutväärtuse, nii et saame seose, mida nimetatakse gaasi
olekuvõrrandiks:
kus R on nn. ggaside universaalkonstant ja n on gaasi moolide arv
vaadeldavas nõus. Gaaside universaalkonstandi väärtus on 8.3147 ja
dimensioon on
Rakendades olekuvõrrandit arvutame ühe mooli gaasi ruumala 0°C ja 101300 Pa
juures, mis on normaalne atmosfäärirõhk merepinnal.
Peame meeles, et ühe mooli gaasi ruumala standard-tingimustel (0°C,
101.3kPa) on 22.5 l. Rõhu tõustes see ruumala väheneb pöördvõrdeliselt
rõhuga, temperatuuri tõustes suureneb võrdeliselt absoluutse
temperatuuriga. Näiteks toatemperatuuril ja standardrõhul on mooli ruumala
Keemias kasutatakse ainete kontsentratsioonide väljendamiseks ühikut
mooli/liitris (molaarsus, M). Mitmemolaarne on õhk toatemperatuuril? Kui
üks mool on 24.15 l siis ühes liitris on 1/24.15=0.041 M = 41 mM. Kui suur
on seejuures hapniku kontsentratsioon? [O2] = 0.21x41 = 8.61 mM. Kui suur
on CO2 kontsentratsioon? [CO2]=0.000365x41= 0.0149 mM =15?M.
Gaaside molekulaarkineetilise teooria alged
Gaaside molekulaarkineetiline teooria seob makroparameetrid (rõhk,
temperatuur) molekulide energiaga. Tuletame näitena gaasi rõhu molekulide
liikumise kiirusest.
Rõhu seos molekulide kineetilise energiaga. Gaasi rõhk nõu seinale
tekib sellest, et molekulid põrkudes avaldavad seinale jõudu. Jõud mõjub
tegelikult iga üksikpõrke ajal, aga suure hulga molekulide puhul hetkelised
jõud keskmistuvad.
Olgu meil n molekuli kuubis küljega ?l. Kuigi nad liiguvad igasugustes
suundades, vaatleme x, y ja z-suunalisi liikumise komponente eraldi. Iga
molekuli põrkumisel risti seinaga (molekul ei põrku risti seinaga, vaid
ainult vastavasuunaline komponent) tema liikumise hulk (impulss) muutub
suuruselt mv suurusele –mv, seega 2mv võrra.
Kahe järjestikuse põrke vahelise aja leiame, arvutades selle kui aja, mille
jooksul molekul liikus teise seinani ja sealt uuesti tagasi.
Kuigi molekul liikudes põrkub paljude teistega, võib impulsi jäävuse
seaduse alusel ette kujutada, nagu liikumise x, y ja z-suunalised
komponendid kanduksid üheklt molekulilt teisele üle ja kuigi lõpuks ei
saabu seina juurde tagasi enam seesama molekul, on kulunud aeg siiski
seesama, mis oleks olnud ühe molekuli likumisel ilma põrgeteta. Nüüd teeme
olulise füüsikalise eelduse: teame küll, et molekuli põrge seinaga toimub
momentselt, meie aga kujutleme, et põrkeprotsess keskmistus üle kahe põrke
vahelise aja. Rakendame selle aja kohta eespool tuletatud seost impulsi
muutuse ja jõu mõjumise aja vahel:
ehk asendades
,
kust
Kuna me keskmistasime põrkeprotsessi üle kahe põrke vaheaja, siis niisugune
oleks keskmine jõud üle kahe põrke vaheaja, seega pidevalt mõjuv jõud, mis
mudaks molekuli liikumise vastassuunaliseks. Newtoni kolmanda seaduse
kohaselt mõjub samasuur jõud ka seinale. Meie kuubis küljega ?l oli n
molekuli. Kuigi nad liiguvad kõikides suundades ja ainult liikumise
komponendid on kuubi seintega risti, võib siiski kujutleda, et pilt oleks
sama kui molekulidest n/3 liiguks iga seina suunas risti. Seega oleks kõigi
molekulide poolt kuubi küljele avalduv jõud
Rõhu arvutamiseks tuleb jõud jagada külje pindalaga:
Paneme tähele, et n/?l3=n0, mis on molekulide arv ruumalaühikus. Seega
Viimane valem eeldab, nagu liiguksid kõik molekulid ühesuguse kiirusega v.
Kui molekulide kiirused on erinevad, tuleb arvutada kiiruste ruutude
keskväärtus
ja asendades saame
Gaasi rõhk on võrdeline molekulide tihedusega ruumalaühikus ja ühe molekuli
keskmise kineetilise energiaga. Kas dimensioonid klapivad?
Temperatuuri seos molekulide kineetilise energiaga. Olles sidunud rõhu
molekulide kineetilise energiaga kasutame edasi gaaside olekuvõrrandit, mis
seob rõhu temperatuuriga. nII saame temperatuuri siduda molekulide
kineetilise energiaga. Kuna
siis võime viimase valemi kirjutada kujul
Siin ?l3 on nõu ruumala n on selles nõus olevate molekulide arv. Kui võtame
molekulide arvuks ühe mooli ehk n = Na, siis on nõu ruumala võrdne mooli
ruumalaga V0 ja selle rõhk on seotud temperatuuriga olekuvõrrandi kaudu:
Valemi keskmises liikmes on ühe mooli gaasi kõigi molekulide kineetiliste
energiate summa, Ek
Seega,
Oleme leidnud väga tähtsa suuruse, ühe mooli gaasi keskmise kineetilise
energia sõltuvalt temperatuurist. Tuletaud seos on õige kerakujuliste
molekulide jaoks, mis liiguvad ainult translatoorselt, kuid ei sisalda
võnke- ega pöörlemisenergiat. Tegur 3/2 tuleneb sellest, et iga
teljesuunaline liikumise komponent kannab energiat RT/2. Kaheaatomsetes
molekulides võivad aatomid (lisaks molekuli translatoorsele liikumisele)
veel omavahel võnkuda ja tiirelda. Need kas viimast liikumisvõimalust
kannavad ka kumbki sellesama hulga energiat, RT/2, ja kaheaatomse
molekuliga gaasi mooli koguenergia on seega 5/2RT. Niisugust
liikumisvõimaluste arvu nimetatakse molekulide vabadusastmete arvuks ja see
mäarab, kui palju energiat tuleb kokku kulutada gaasi temperaturi
tõstmiseks ühe kraadi võrra või kui palju seda vabaneb gaasi jahtumisel.
Peame meeles suuruse RT väärtuse toatemperatuuril:
Selle suurusega tuleb võrrelda keemilistes reaktsioonides mooli kohta
vabanevat või nõutavat energiat, et mõista nende kulgemise võimalikkust.
Võrdleme seda suurust veel energiaga elektronvoltides. Elektronvolt oli
töö, mida tuli teha, et elektron viia ühe voldi võrra negatiivsemale
potentsiaalile: 1eV=1.602x10-19 J. Kui viime terve mooli elektrone 1V võrra
kõrgemale energiale, teeme tööd 1.602x10-19x6.023x1023=96480 J mol-1V-1.
See arv on tuntud Faraday arvuna ja tähistab tööd, mida tuleb teha, et üks
mool elektrone viia läbi potentsiaalide vahe 1V. Võrreldes sellega on RT
väike suurus, RT(V) = 2436/96480=0.0253V = 25.3 mV. Bioloogiliselt tähtsad
potentsiaalide vahed raku- ja mitokondrite membraanidel on 50-150 mV, seega
2 kuni 6RT. Võrdleme RT veel valguse kvandi energiaga. Punase kvandi
energia oli 1.8 eV, seega kukkus elektron punat kvanti kiirates 1.8V võrra.
Punase valguse lainepikkus on 680 nm. RT (25.3mV) moodustab ainult 1.4%
punase kvandi energiast. RT võrra erinev energia väljenduks lainepikkuse
muutusena 1.4% võrra ehk 9.6 nm võrra. Kuna keskmiselt nii suur energia on
toatemperatuuril pidevalt olemas ja kandub orbitaalidele üle molekulide
põrgetes, siis ei saagi aatomid (molekulid) kiirata enam kindlat
lainepikkust vaid ribade laiuseks kujuneb keskmiselt ±10 nm. Energiale 2436
J/mol vastaks õhus molekulide ruutkeskmine kiirus kust v = 410 m s-1
(siin M on mooli mass, õhu puhul ligikaudu 0.029 kg).
Kuigi tuletasime temperatuuri ja molekulide liikumise kineetilise
energia vahelise seose gaaside jaoks, on temperatuuride tasakaalu korral
energiad vabadusastme kohta võrdsed ka vedelikes ja tahketes kehades
(tahkistes). Molekulide vabadusastmete arv gaasides, vedelikes ja tahkistes
on aga erinev.
Soojamahtuvus, erisoojus
Eelnevast on selge, kui palju energiat tuleb kulutada ühe mooli gaasi
soojendamiseks ühe kraadi võrra. Sõltuvalt vabadusastmete arvust (molekuli
ehitusest) on see kas 3/2R?T või 5/2R?T. kus ?T tähistab temperatuuri
tõusu. Saadud väärtus on aga õige ainult juhul, kui gaasi ruumala jääb
soojenedes samaks ja rõhk seejuures tõuseb. Seetõttu tuleb alati
täpsustada, et tegu on mooli soojamahtuvusega ehk erisoojusega Cv
konstantse ruumala puhul. Kui me soojendame gaasi ja lubame tal seejuures
paisuda, näiteks nii et rõhk jääb konstantseks, siis teeb paisuv gaas
lisaks veel tööd, tõugates seinu eemale rõhuga p. Gaasi paisumisel tehtud
töö on p?V. Teame aga, et ühe mooli gaasi puhul
Arvestades ka gaasi paisumisel tehtavat tööd tuleb konstantsel rõhul
(suurenrval ruumalal) gaasi soojendamisel teha rohkem tööd: üheaatomse
gaasi puhul 3/2R?T+ R?T=5/2R?T ja kaheaatomse gaasi puhul
5/2R?T+R?T=7/2R?T. Seega on gaasi erisoojus konstantsel rõhul (Cp) suurem
kui konstantsel ruumal (Cv). Kasutatud soojusenergiast suurem osa
(üheaatomsete gaaside puhul 60%) jääb gaasi siseenergiaks (molekulide
kineetiliseks energiaks), ja väiksem osa (40%) teeb kasulikku mehaanilist
tööd. Niimoodi töötavad kõik soojusmasinad, näiteks automootorid, kus
bensiini põlemise teel soojendatakse silindris olevat gaasi ja lastakse sel
siis paisuda kolvi alla liikudes ja autot edasi lükata. Ülaltoodust on ka
näha, et mida suurem on suhe Cp/Cv seda suurem on gaasi soojendamisel
tehtava mehaanilise töö osa võrreldes kogu kulutatud energiaga.
Üheaatomsetel gaasidel on see suhe 5/3 kaheaatomsetel aga 7/5.
Gaasi kokkusurumisel tehtav töö.
Eelmises lõigus võtsime teadmiseks, kuidas gaasi kokkusurumisel
(paisumisel) tehtav töö sõltub gaasi ruumala muutusest. Tuletame siiski
selle valemi. Töö on jõu ja jõu suunas käidud teepikkuse korrutis. Gaasis
mõjub nõu pinnaühikule jõud p. Mingile pinnale S mõjub jõud pS. Kui
kujutleme, et see pind on nagu kolb, mis võib liikuda rõhu mõjul, siis
liikudes teepikkuse ?s võrra tehakse tööd pS?s. Aga S?s=?V ja tehtud töö
ongi A=p?V. Liikumist komponentideks jagades ei jäävad määravaks ainult
pinnaga ristisuunalised komponendid ja gaasi nõu kuju muutustele viivad
tangentsiallkomponendid tööd ei tee. Seega, ei ole tähtis, kuidas ruumala
muutub ja missugused on seejuures toimuvad nõu kuju muutused. Küll on aga
oluline, et gaasi rõhk jääks ruumala suurenemisel samaks. See on aga
võimalik ainult siis kui gaasi samal ajal soojendada.
Kui me aga surume gaasi kokku ja seda ei soojenda, vaid hoopis hoiame
temperatuuri konstantsena, siis kokkusurumisel paratamatult gaasi rõhk
tõuseb. Selles protsessis tehtava töö arvutamiseks tuleb rakendada
integreerimist. Elementaartöö väikesel ruumala muutusel
Aga gaasi olekuvõrrandist saame rõhu avaldada ruumala kaudu:
.
Asendades ja tuues konstantsed liikmed integraali ette saame
Gaasi oleku võrrandit kasutades saab avaldada sellesama töö ka alg ja
lõpprõhkude kaudu:
Kuna konstantsel temperatuuril rõhk ja ruumala on pöördvõrdelised,
,
siis
Viimast valemit kasutame allpool, et leida rakumembraanil ainete
kontsentratsioonide erinevusest tulenevat energiat, nn. membraani
eneergiseritust. Tuletame meelde, et see valem esitab gaasi paisumistöö
(kokkusurumistöö) konstantsel temperatuuril, samal ajal kui valem ?? esitas
selle konstantsel rõhul.
Adiabaatne protsess.
Mõlemad ülalkäsitletud protsessid nõuavad pidevat gaasi temperatuuri
jälgimist ja välise soojuse või jahutaja kaudu reguleerimist, sest neis
mõlemis peab temperatuur igal juhul konstantne olema. Jalgratta- või
autikummi pumbates oleme täheldanud, et pump kuumeneb, kuigi me seda otse
ei soojenda, vaid ainult surume gaasi kokku. Me lihtsalt ei jahutanud pumpa
küllalt kiiresti, et hoida temperatuuri konstantsena. Niisuguseid protsesse
gaasidega, kus väline soojusvahetus on täielikult välditud, nimetatakse
adiabaatseteks. Gaasi adiabaatsel kokkusurumisel gaasi temperatuur tõuseb.
See tuleb sellest, et kokkusurumisel seinad liiguvad sissepoole ja seintelt
tagasi põrkuvad molekulid suurema kiirusega kui nad seintele lähenesid,
s.t., seina liikumise kiirus liitb molekuli liikumise kiirusele.
Kokkuvõttes gaasi molekulide kineetiline energia suureneb. Gaasi ruumala
vähendamisel on effekt vastupidine, tagasi põrkudes molekulid aeglustuvad.
Selle tulemusena on adiabaatne protsess üsna keerukas: gaasi kokku surudes
rõhk tõuseb kõigepealt ruumala vähenemise tõttu, aga lisaks veel
temperatuuri tõusu tõttu, seega adiabaatses protsessis rõhk muutub rohkem
kui isotermilise protsessi korral. Lahustes toimuvates protsessides, mis on
bioloogias peamised, on temperatuur tavaliselt konstantne ja adiabaatseid
nähtusi esineb harva.
Molekuli suurus, molekulidevaheline kaugus, vaba tee pikkus
nII kaua kui gaasi kokkusurumisel molekulide elektronkatted ei asu pidevalt
üksteise mõjusfäaris (molekulid ei ‘puutu kokku’), on rõhu ja ruumala
vaheline sõltuvus vastavuses gaasi olekuvõrrandiga. Rõhk tõuseb ainult
sellepärast, et molekulide tihedus ruumalaühikus suureneb ja nad hakkavad
tihedamini seinaga põrkuma. Öeldakse, et gaas käitub nagu ‘ideaalne gaas’,
mille molekulid on nii väikesed, et kokkusurumist veel ei takista. Vaatame,
kui suured on molekulid põrkumisraadiuse seisukohast. Võtame näiteks vee
molekuli. Vedelas olekus on ühe mooli vee mass 18 g ja ruumala 18 cm3.
Seega, Na molekuli täidavad 18 cm3. Ühe molekuli all olev ruumala on
18/6.023x1023= 2.989x10-23 cm3. Sellise ruumalaga kuubi külje pikkus oleks
3.10x10-8 cm = 3.10 A. Põrkeraadius oleks seega 1.55 A. Ka teiste õhus
olevate gaaside molekulide põrkeraadiused on samas suurusjärgus.
Toatemperatuuril on õhu moolruumala 24.15 l = 0.02415 m3. Ühe molekuli
kohta tuleb ruumala 0.02415/Na = 4.0096x10-26 m3, vastav kuubi külg oleks
Molekulide keskmine kaugus õhus on umbes kümme korda suurem kui nende
diameeter. Õhku tuleks umbes 1000 korda kokku suruda, et molekulid
läheneksid kokkupuuteni (molekulidevaheline kaugus väheneb kuupjuurega
ruumalast). See on ka piir mille juures ülaltoodud gaaside olekuvõrrand
kehtivuse kaotab. Täpsuse kaotab ta aga juba kümme korda madalamal rõhul,
mõnede gaaside puhul, nagu CO2 ja veeaur, isegi palju varem.
Tähtis gaasi parameeter on veel molekuli keskmine vaba tee pikkus,
keskmine liikumisruum põrkest põrkeni. See määrab näiteks difusiooni
kiiruse. Olgu meil gaas kus on n molekuli m3 kohta. ühe molekuli raadius
olgu r. Lihtsustuseks kujutleme, et molekul liigub sirgjoneliselt ja lööb
põrgetel teised molekulid eemale ise trajektoori muutmata. Niimoodi
liikudes puudutab molekul kõiki teisi, mis asuvad silindris raadiusega 2r.
Kui molekul liigub 1 m pikkuse tee, siis puudutab ta molekule, mille
keskpunktid asuvad silindris ruumalaga m3, ja neid oli . Kuna 1
m tweepikkusel oli nimitu põrget, siis iga põrke vaheline keskmine vaba tee
pikkus oli
,
kus d tähistab molekuli põrkediameetrit. Täpsem arvutus, mis arvestab ka
põrgetel toimuvat trajektoorimuutust, annab veidi suurema keskmise vaba tee
pikkuse:
Arvutame järgmiste andmetega:
Molekuli vaba tee keskmine pikkus on 1000 A =100 nm, kui molekulide
keskmine kaugus on 33 A ja diameeter 3 A.
Difusioon
Nagu nägime, on molekulide kiirus toatemperatuuril üle 400 m/s ja
põrkumisteta kataksid nad ka sellesama vahmaa sekundi jooksul. Tegelikult
nad põrkuvad ja muudavad liikumise suunda iga 100 nm järel, mille
tulemusena nende tegelik edasiliikumine ruumis on juhuslik ja tunduvalt
aeglasem. Aga nad liiguvad siiski ja niisugune molekulide juhuslik
ümberpaiknemine ruumis kannabki nimetust difusioon. Difusioonil on
bioloogias suur tähtsus, olles peamine ainete transpordi mehhanism raku
piires, samuti taime ja keskkonna vahel. Difusiooniprotsessis molekulid
liiguvad juhuslikult igas suunas. Seejuures kõrgema tihedusega
(kontsentratsiooniga) piirkondadest eemale toimub likumine suurema
tõenäosusega kui madalama kontsentratsiooniga piirkondadest kõrgama
kontsentratsiooniga piirkondadesse. Niimoodi toimub difusiooni käigus aine
kontsentratsiooni ühtlustumine. On loogiline, et molekulide difusiooniline
ümberpaiknemine ruumis toimub seda kiiremini, mida kiiremini molekulid
liiguvad ja mida suurem on kskmine põrgetevahelise vaba tee pikkus.
Kontsentratsiooni ühtlustumine toimub seda kiiremini, mida järsem on
kontsentratsiooni muutus ruumis, s.t., mida suurem on kontsentratsiooni
gradient. Gradient on mingi pideva suuruse muutumise kiirus ruumi
koordinaadi järgi.
Näiteks toome valemi difusioonikiiruse kohta silindrilises torus, kus
ühes otsas hoitakse kontsentratsiooni C1 ja teises otsas C2, toru pikkus on
l ja ristlõikepindala on s:
kus
Nendes valemites l ja S on geomeetrilised parameetrid, mis iseloomustavad
difusiooniteed, difusioonikonstant D aga iseloomustab difundeerivat ainet
ja difusioonitingimusi:
Nagu näeme, on difusioonikonstant sõltuv molekulide lineaar-keskmisest
kiirusest ja vaba tee pikkusest, kordaja 1/3 tuleneb jällegi sellst, et
liikumist vaadeldakse iga koordinaadi suunas eraldi. Difusioonikiiruse
valem, nn Fick’i seadus, on sarnane Ohmi seadusele, mis määrab elektrivoolu
kiiruse läbi takistust omava traadi.
Difusiooni kiirus ajas ja ruumis
Eelnevad seosed võimaldavad arvutada difusioonivoo kiirust ruumis
konstantse kontsentratsioonivahe (või gradiendi) puhul. Gradiendi
konstantsuse säilitamiseks peab molekule pidevalt kuhugi ära kaduma.
Näiteks, taimelehes süsihappegaas pidevalt neeldub fotosünteesi käigus ja
seetõttu säilib lehes madalam CO2 kontsentratsioon kui välisõhus. Kui
molekule ära ei kao, siis esialgu tekitatud kontsentratsioonivahe kaob
mõninga aja pärast. Aga kui kiiresti see toimub? Difusioonilise liikumise
kiiruse teadmine võimaldab hinnata kui kiiresti molekulid raku sees ümber
paiknevad.
Vaatleme lihtsuse mõttes ühemõõtmelist juhtu. Oletagem, et
sünteesisime mingi kogse metaboliiti raku keskel asuval tasandil ja küsime,
kui kiiresti see difundeerub rakus laiali? Tuletame kõigepealt meelde
Fick’i seaduse statsionaarse difusioonivoo J kohta ja defineerime voo
tiheduse:
Siin dC/dx on kontsentratsiooni gradient e. kontsentratsiooni muutumise
kiirus x-telje suunas, J on defineeritud kui aine voo tihedus, mida
mõõdetakse pinnaühikut ajaühukus läbinud aine hulgaga, seega mooli m-2 s-1.
Voo tiheduse mõiste sissetoomine võimaldab Fick’I seaduse lihtsasti
kirjutada, ilma difusioonitee pikkust ja ristlõiget kasutamata.Valime
kaugusel x meie tasapinnast, kus aine eraldus, ühe ühikulise pindalaga
ruudu ja selle kõrvale kaugusele x+dx kohe teise ruudu, nii et saame nagu
õhukese kasti (Joonis). Kohal x, kasti sisenedes, on voo tihedus J, kohal
x+dx, kastist väljudes, on voo tihedus muutunud. Kuna see muutus on väike,
kasutame Taylori ritta arendust ja avaldame
Kuna väljavoolukiirus ei võrdu sissevoolukiirusega, peab kasti ainet
kogunema (või sealt kaduma), sest ruumilisi neeljaid me praegu ei arvesta.
Meie ühikulise pinnaga kastikeses olgu aine hulk alguses Cdx (C on
kontsentratsioon, pindala=1). See muutub tänu aine kogunemisele
(lahkumisele) järgmise kiirusega
Pärast dx ja J taandamisi saame nn. pidevuse seaduse:
Seadus põhineb aine jäävusel ja väidab, et kui voo tihedus ruumis muutub,
siis aine koguneb. Asendame nüüd J Fick’i seadusest
See on difusiooni üldine ajalis-ruumiline diferentsiaalvõrrand.
Kolmemõõtmelisel juhul tuleb teised tuletised võtta kolme koodinaadi
suunas. Meie ühemõõtmelisel juhul on selle võrrandi lahendiks funktsioon
Kus M on aine kogumass, mis eraldus protsessi alguses tasapinnal x = 0.
Võrrandi lahend on eksponent, mis kahaneb x kasvades ruumis kiiresti,
kuid ulatub siiski kõikjale, seega peame konkretiseerima küsimust, ‘kui
kaugele aine difundeerub mingi aja jooksul’. Utleme, et meid huvitab, kui
kaugel on frondi kõige järsem osa, seal kus funktsiooni väärtus on e-
1=0.36. Tingimus, et e astendaja = 1 tähendab, et
või
Difusioonifrondi levides selle kõige järsem koht kaugeneb võrdeliselt
ruutjuurega ajast, näiteks 2 korda kui aeg kasvab neli korda. Aeg, mis
kulub mingi distantsi läbimiseks kahaneb võrdeliselt kauguse ruuduga. Siit
tulenebki, et väikestel distantsidel on difusiooniline transport
efektiivne, kuid kaotab efektiivsuse distantsi kasvades väga kiiresti.
Anname mõned difusioonikonstandi väartused (ühikutes cm2 s-1):
Vees: suhkur 0.52 10-5 Õhus: CO2 0.16
glükoos 0.67 veeaur 0.24
glütsiin 1.1 O2 0.20
Ca(Cl)2 1.9
Proteiin 0.1
DNA 0.01
Rusikareegel on, et õhus on difusioonikiirused ligikaudu 10000 korda
suuremad kui vees. Vahe tuleneb väga väikesest molekuli vaba tee pikkusest
vees võrreldes gaasiga. Raskemad molekulid difundeeruvad aeglasemalt, sest
nende liikumise kiirused on väiksemad, kuna samal temperatuuril on energiad
samad, suurema massiga molekulid aga liiguvad aeglasemalt. Kui võtame
difusioonikonstandiks 10-5 cm2 s-1 siis difundeerumiseks kulub järgmine
aeg:
5 ?m (raku organellid) 0.006 s = 6 ms
50?m (rakud) 0.6s
1 m (organism) 8 aastat
Nagu näeme, on organellis difusioonikiirus sedavõrd suur, et molekul võib
umbes 200 korda sekundis läbi organelli difundeeruda. Terve raku mõõtmes on
see aga ainult paar koda sekundis. Difusiooniline ainete transport
organismi piires on aga lootusetult aeglane. Seetõttu metaboliitide
kaugtransport toimubki peamiselt voolamise abil, närvierutus aga liigub
elektri-impulsside abil.
Soojusjuhtivus
Tahkes kehas on eriti hästi näha, et soojendades keha ühte osa jõuab soojus
varsti jaguneda ühtlaselt üle kogu keha. Soojus nagu difundeeruks laiali.
Sama toimub ka gaasides ja see ongi kehade soojusjuhtivus. Kuna soojus on
põhimõtteliselt molekulide kineetiline energia, siis selle
‘laialidifundeerumine’ tähendab energia ülekannet põrgetel, kus kiiremini
liikuvad molekulid jagavad oma energia teiste molekulidega. Nii kujuneb
kehas lõpuks üsna ühtlane molekulide kiiruste jaotus. Et soojusjuhtivuse
mehhanism on difusioonile sarnane, siis on ka vastavad valemid sarnased.
Näiteks soojuse liikumine läbi varda pikkusega l ja ristlõikepinnaga S on
kus kontsentratsioonide vahet asendab temperatuuride vahe ja
difusioonikonstanti soojusjuhtivuse konstant
Soojusjuhtivuse konstant on difusioonikonstant korrutatud erisoojusega, mis
on tihedus korda massiühiku soojusmahtuvus .
Sisehõõrdumine, viskoossus
Voolamine on molekulide samaaegne ühesuunaline liikumine. Voolamine toimub
näiteks torudes rõhkude vahe mõjul. Elusolendites toimub voolamine
veresoontes loomadel ja juhtsoontes (ksüleem, floeem) taimedel. Voolamine
on peamine viis molekulide transportimiseks pikematel distantsidel kui ühe
raku piires. Voolamine võib olla laminaarne ja turbulentne. Laminaarse
voolamise puhul vedeliku või gaasikihid torus segunevad ainult difusiooni
tõttu, seega vähe, ja kihid, mis alustasid teekonda toru seinte lähedal, on
seal toru lõpuni. Molekulid, mis alustasid teekonda toru keskosas jäävad
samuti sinna kuni lõpuni. Laminaarne voolamine on tavaline peentes torudes,
nagu kapillaarsooned ja taimede juhtsooned. Tubulentsel voolamisel toimub
pidev keeriseline liikumine toru sees, selgeid kihte asendavad keerised,
milles molekulid liiguvad kord sente lähehedale, kord jälle kaugemale.
Turbulentne voolamine on tavaline jämedates torudes. Vaadake näiteks
korstnast väljuvat suitsu, aga sarnane keeriselisus on ka vere voolamisel
jämedamates veresoontes.
Ka voolamine allub sama tüüpi proportsionaalsele seadusele nagu
difusioon ja soojusjuhtivus, ainult siin on liikumapanevaks jõuks rõhkude
vahe:
Pange tähele, et voolamise puhul on tavaks võrdetegurit esitada
pöördsuurusena, viskoossusena. Mida suurem on viskoossus ?, seda aeglasem
on voolamine sama rõhkude vahe ja sama voolu geomeetria puhul. Vedelike
puhul on viskoossus põhjustatud peamiselt molekulidevahelistest sidemetest
(tõmbejõududest). Kuna need temperatuuri tõustes nõrgenevad (molekulid
liiguvad kiiremini ja kaugenevad üksteisest, keha paisub), siis vedelike
viskoossus temperatuuri tõustes väheneb, voolamine kiireneb. Gaaside
viskoossus põhineb teisel alusel, kuna nendes molekulidevahelised tõmbejõud
ei ole tähtsad. Toru seinte lähedal liikuvad molekulid põrkuvad sageli
seintega ja nende edasiliikumine piki toru on takistatud. Soojusliikumine
aga pillutab molekule ka toru seintest eemale ja vastupidi, eemal olevaid
molekule seinte suunas. Nii jäavad seinte poolt tulevad molekulid tsentri
pool liikuvatele jalgu ja pidurdavad neid, aga tsentrist seinte poole
liikuvad molekulid kiirendavad seinte lähedal asuvate voolusuunalist
likumist. Kujuneb välja keskmine kiiruste profiil, mis on ruuthüperbooli
kujuga, kusjuures kõige kiiremini voolavad molekulid toru keskel ja seinte
äares on need peaaegu paigal (voolamise mõttes, mitte termilise liikumise
mõttes). Kuna gaaside puhul viskoossus on tingitud molekulide difusioonist
risti voolu suunaga, on ka viskoossustegur seotud molekulide
soojusliikumise keskmise kiirusega ja vaba tee pikkusega:
,
kus ? on gaasi tihedus. Viskoossus ei sõltu gaasi rõhust, kuna rõhu
suurenedes tihedus küll kasvab, kuid vaba tee pikkus proportsionaalselt
kahaneb.
-----------------------
1 2 3 4 5 6
