Реферат на эстонском по физике - биофизика 2

                              BOHRI AATOMIMUDEL

   Eelmises lхigus tuletasime valemid, mis kirjeldavad ьmber tuuma tiirleva
elektroni kiirust ja energiat. Igale elektroni kineetilise energia
vддrtusele Ek vastaks kindel raadius r. Klassikalise fььsika seisukohtade
kohaselt tekitab aga tiirlev elektron muutuva elektromagnetilise vдlja:
elektron on perioodiliselt kord tuumast parmal, siis jдlle vasemal, seega
‘pluss’ ja ‘miinus’ vahelduvad nagu televisiooni saateantenni varrastes,
vahe on ainult mххdus ja tiirlemise sageduses.  Muutuva elektromagnetilise
vдlja kaudu peaks elektroni tiirlemisenergia vдlja kiirguma, elektron peaks
tuumale lдhenema ja lхpuks tuumale kukkuma. Tegelikult seda ei toimu, kхik
aatomid maailmas on stabiilsed ja tavaliselt ei kiirga energiat. Selles on
klassikalise mehhaanika pхhivastuolu tegelikkusega. Seda vastuolu ei saa
eletada, see tuleb lihtsalt teadmiseks vхtta ja postuleerida, et teatud
kindlate energiavддrtuste puhul on elektronide orbiidid aatomis stabiilsed
ja energiat ei kiirgu, kuigi pхhjus, miks ei kiirgu, ei ole teada. Kui see
aga teadmiseks vхtta, siis saab sellele ьles ehitada uut sorti mehanika –
kvantmehaanika. Esimeseses jдrjekorras tuleb postuleerida, missugused on
need orbiidid, millel elektron saab stabiilselt tiirelda ilma energiat
kiirgamata.

      Uurides kuumutatud kehadelt kiirguva valguse spektreid leidis Max
Planck (1900) ka siin vastuolu, mis lahenes, kui eeldati, et valgusel on
kvantiseloom: valgus kiirgub energiaportsjonite e. kvantide kaupa, millest
igaьhe energia , kus ? on valguslaine vхnkumise sagedus.
Lдhtudes sellest postuleeris Bohr (1913): elektroni tiirlemisel ьmber tuuma
elektrmagnetilist lainet (=valgust) ei kiirgu, kui elektron tiirleb
orbiitidel millel potentsiaalne on

                            .
Kineetiline energia oli positiivne ja pool potentsiaalsest energiast:
                 ,
Nendes valemites ? on elektroni tiirlemise sagedus, n aga mingi tдisarv 1,
2, 3, 4 jne.
Kasutades seost joonkiiruse ja nurkkiiruse vahel, mille abil sagedus
teisendatakse joonkiiruseks, saame:
                                ja  

ja vхime kirjutada

                       
 ehk
                            

vхi  vхttes mхlemad pooled ruutu saame:  .

  Elektrostaatilise tхmbejхu valemist (???) saame massiga m lдbi
korrutades:
                              
Kahe viimase valemi vasakud pooled on vхrdsed. Paremate poolte
vхrdsustamisel saame avaldada lubatud raadiuse
                                   .
Need nn. Bohri raadiused ongi vхimalikud raadiused millel elektron saab
asuda stabiilselt ilma energiat kiirgamata.
      Avaldame elektroni kineetilise energia tema massi m ja laengu e kaudu.
Selleks asendame r valemisse (???) vхi (???). Saame
                            

Samale orbiidile vastav potentsiaalne energia
                       

ja koguenergia, mis vastab orbiidile, mida iseloomustab tдisarv n
                       

 Vхimalike naaberorbiitide energiate vahe
                       
Elektroni tiirlemissageduste vahe kahel naaberorbiidil vхrdub
vдljakiiratava (vхi neelatava) valguse sagedusega kahe orbiidi vahelisel
ьleminekul:

 ja lainepikkus  kus c on valguse kiirus.
Arvulisi andmeid:  e = 1. 6021892·10-19 kulonit; h=  6.626176·10-34 J·s;
me = 9.109534·10-31 kg
c = 299792458 m s-1 ke=???

      Valem (???) nдitab, et elektroni vхimalikud tiirlemisraadiused
suurenevad vхrdeliselt tдisarvude ruutudega, seega jada on 1, 4, 9, 16, 25,
36 ...
      Valem (???) nдitab,et elektroni koguenergia vхimalikel orbiitidel
suureneb raadiuse kasvades pццrdvхrdeliselt tдisarvu n ruuduga, seega jada
oleks
                            
Kхige sьgavama energianivoo (pхhinivoo) vддrtus on vesiniku aatomis -13.6
eV, nivoode jada elektronvoltides oleks siis
-13.6; -3.4; -1.5; -0.85; -0.54; -0.38 ...eV
Volt (Itaalia teadlase Volta nimest) on elektrivдlja potentsiaali
(potentsiaalse energia) ьhik. Elektrivдlja kahe punkti potentsiaalide vahe
on ьks Volt kui laengu ьks kulon viimisel ьhest punktist teise tehakse tццd
ьks J. Ьhe elektroni viimisel lдbi potentsiaalide vahe ьks volt tehakse
tццd ьks elektronvolt. Energeetiliselt elektronvolt on dzhaulist niisama
palju kordi vдiksem kui elektroni laeng on vдiksem kulonist, seega 1 eV =
1. 6021892·10-19 J.

      Orbiitide ja energianivoode joonised.

      Nдhtav ja nдhtamatu elektromagnetiline kiirgus, valgus.

Energianivoode-vahelisel ьleminekul kiiratakse kvant kui ьleminek toimub
tuumale lдhemale ja neelatakse kvant kui ьleminek toimub tuumast kaugemale.
Kvandi energia on niisama suur kui vastavate orbiitide energianivoode vahe.
Vхtame teadmiseks, et vesiniku sьgavaimale energianivoole vastab 13.6 eV ja
arvutame sellele ьleminekule vastava lainepikkuse.


      See on silmale nдhtamatu lьhilaineline ultraviolett-kiirgus. Silm nдeb
‘valgust’, mis on defineeritud kui elektromagnetiline kiirgus lainepikkuste
vahemikus 400-700 nm ehk kvandi energiavahemik 3.10 kuni 1.77 eV. Vesiniku
aatomisisestest ьleminekutest kiirguks nдhtavat kiirgust ьleminekutel
kхrgematelt nivoodelt teisele nivoole, teiselt esimesele nivoole ьleminek
kiirgab kvandi lainepikkusega 121.7 nm.
      Seega, valguse ja sellest lьhemate lainepikkustega kvandid kiirguvad
elektroni ьleminekul kхrgema energiaga orbiidilt madalama energiaga
orbiidile, energiavahe kiirgub kvandina. Ka vastupidine protsess, kvandi
neeldumine aatomis pхhjustades elektroni ьlemineku madalamalt orbiidilt
kхrgemale, on vхimalik. Nagu vesiniku aatomi analььs nдitas, on lubatud
tдiesti kindlad energianivood, seega niisuguses aatomis kiirguvad ja
neelduvad ainult vдga tдpselt mддratud lainepikkustega kvandid. Vesiniku
aatomis on pхhinivoo nii sьgaval, et sinna ьleminekul saavad kiirguda vaid
ultraviolett-kvandid. Paljelektroniliste aatomite vдliste kihtide lubatud
pхhinivood ei asu mitte nii sьgaval ja neis kiirguvad/neelduvad ka nдhtava
valguse kvandid. Nдiteks, tihti kasutatakse elavhхbe-auru ja naatriumi-
auruga tдidetud lampe, kus elektrienergia abil sunnitakse metalliaatomeid
kiirgama nдhtavat valgust. Kui aatomid asuvad gaasis  tihedalt lдhestikku,
siis nad pхrkuvad soojusliikumise tхttu ja need pхrked moonutavad orbiitide
kuju. Tulemusena nihkub igas moonutatud orbiidiga aatomis energianivoo
veidi ja kogu gaas ei kiirga enam mitte joonspektrit teatud kindlate
lainepikkustega, vaid nn. ribaspektrit, kus jooned on laienenud ribadeks.
      Joonis: ribaspektri nдidis kхrgrхhu elvhхbeauru-lambis.
Tahkes kehas asuvad aatomid nii tihedasti koos, et iga ьksiku aatomi
energianivoo muutub vдga ebamддraseks. Kui tahket keha, nдiteks metalli vхi
sьtt kuumutada, siis see hakkab valgust kiirgama. Madalamal temperatuuril
on see kiirgus pikemalainelisem, nдhtavaks muutub see tumepunasena kusagil
600 °C juures. Temperatuuri edasisel tхstmisel hakkab domineerima jдrjest
lьhemalainelisem kiirgus, muutudes silmale nдhtavalt kollakaks, valgeks
(nagu Pдike) vхi isegi sinakaks (nagu kuumad tдhed). Niisugustes kuumutatud
tahketes kehades on kiirguse energiaallikaks aatomite (molekulide)
soojusliikumine, mis pхrgetel ‘ergastab’ elektrone, lьkates neid ajutiselt
kхrgematele niivoodele, kust nad siis kohe jдlle alla kukuvad, kiirates
kvante. Kuna aatomid asuvad vдga tihedalt, siis on ka lubatud
energianiivood vдga tihedalt ligistikku, nii et igasuguse energiaga
kvantide kiirgumine on vхimalik. Sellest tulenevalt on kuumutatud tahkete
kehade kiirgus pideva spektriga. Kuumutatud gaasides aga kiirgub ikkagi
joon- vхi ribaspekter. Nagu цeldud, on madala temperatuuriga kehades
lьhilaineliste (kхrge energiaga) kvantide kiirgumine vдhetхenдone ja neis
domineerivad pikemalainelised kvandid. Nдiteks Maa keskmine temperatuur on
umbes 290 °K ja Maa kiirgab kosmosesse infrapunast kiirgust lainepikkuse
maksimumiga umbes 10 ?m. Seevastu Pдikese temperatuur on umbes 6000 °K ja
tema kiirgusmaksimum on 0.5 ?m lainepikkuse juures. Hххglampide niidi
temperatuur on umbes 2000-3000 °K ja kiirgusmaksimum umbes 1 ?m juures.
Nagu nдeme, on silm kohastunud nдgema just selles spektripiirkonnas, kus
Pдike kiirgab maksimaalselt. Seevastu hххglampide spektrist suurt osa silm
ei nдe. Sellepдrast ongi hххglampide valgusviljakus (valguslik kasutegur)
suhteliselt madal (10-20%).
Joonised: Pдikese ja hххglampide spektri nдited.


Mateeria lainelised omadused: kvantmehaanika kui lainemehaanika


Uurides musta tahke keha kiirgusspektrit leidis Max Planck (1900), et see
vastab energia juhuslikule jaotusele ainult tingimusel, et mitte igasugune
kiirgumine ei ole vхimalik, vaid ainult kiirgumine portsjonite, kvantide
kaupa, mille igaьhe energia ja vхnkesagedus on seotud jдrgmiselt:
                                  
       kus ? on vхnkesagedus ja h nn. Planck’i konstant, mis on ьks looduse
universaalsetest konstantidest. Veidi hiljem leidis Alber Einstein oma
ьldrelatiivsusteooriast et elementaarosakeste (prootonite, elektronide
jne.) mass ja energia on omavahel seotud:
                                  
kus c on valguse kiirus. Nendest kahest valemist jдrgneb, et kvandil
(footonil) kui elektromagnetiliste lainete ‘paketil’ peab siiski olema ka
mingi mass
                                   .
Seega on footon kahesuguste omaduste, nii lainepakett kui ka massiga
osakene. De Brouglie (1927) arendas seda mхtet edasi, et absoluutselt iga
osakene, millel on mass, omab samaaegselt ka lainelisi omadusi. Kui eelmine
valem teisendada, saame
                                   ,
kust
                                  

See valem on kirjutatud footonite jaoks, mis alati liiguvad kiirusega c ja
ei saa kunagi liikuda vдiksema kiiruega. De Brouglie aga oletas, et massi
ja lainepikkust siduv valem kehtib iga osakese kohta, ka nende kohta, mis
vхivad seista paigal vхi liikuda valguse kiirusest vдiksema kiirusega.
Sellisel juhul valem sisaldaks valguse kiiruse asemel osakese (keha)
tegelikku kiirust
                                  
Vaatame, mida see hьpotees tдhendaks Bohri aatomimudelis tiirleva elektroni
kohta, milline oleks selle ‘lainepikkus”?
      Elektroni kineetiline energia orbiidil, millele vastas tдisarv n oli

                            

Avaldades siit kiiruse v saame
                             
ja vastava elektroni lainepikkuse
                             
Vхrdleme elektroni lainepikkust Bohri raadiusega
                             
ehk
                             
Viimases valemis lisasime raadiusele indeksi n nдitamaks, et tegu on just
nimelt tдisarvule n vastava raadiusega. Valem ise aga nдitab, et tдisarvule
n vastavale orbiidile mahub just nimelt n tдislainet. Tuletame meelde, et
kхrgemal orbiidil on elektroni kiirus vдiksem, seega lainepikkus suurem.
Siit jдreldub, et orbiidi ьmbermххt (ka raadius) suureneb kahel pхhjusel:
elektroni lainepikkus suureneb ja orbiidile paigutatavate lainete arv ka
suureneb. Siit tulenebki vдliste orbiitide lдbimххdu kiire kasvamine kui
elektroni summaarne energia hakkab nullile lдhenema (elektron kaugeneb
tuumast vдga kaugele).

      Lainemehaanika alged
Lained on ruumis edasilevivad vхnkumised. Edasilevimine tuleb sellest, et
mingis ruumipunktis toimuv muutus kutsub esile sarnase muutuse
naaberpunktis, aga veidi hiljem. Elektroni  orbiidil ringlevad samuti
lained, kuid kummas suunas? Et eelissuunda ei ole, siis levivad lained
mхlemas suunas liikudes vastamisi. Kui seejuures on veel orbiidil tдisarv
laineid, siis tekib resultatiivselt nagu laine seiskumine, vastassuunalised
levimised kompenseeruvad. Seega, elektron aatomi orbiidil moodustab seisva
laine. Ьldse, madalama potentsiaalse energiaga ruumiosas kinnihoitavad
lained moodustavad alati seisvad lained, ja seda madalama potentsiaaliga
ruumiosa kutsutakse ‘potentsiaaliauguks’. Gravitatsioonivдljas on
kahemххtmeline potentsiaaliauk nдiteks kaev, kus ergastatud lained
peegelduvad kaevu seintelt ja moodustavad veepinnal seisvaid laineid.
Kolmemххtmeline elektripotentsiaali auk on nдiteks tuuma ьmbrus, mis hoiab
elektrone kinni kui seisvaid laineid. Seisvat lainet kirjeldav matemaatika
on lihtsam kui levivat lainet kirjeldav, sest ajalisi muutusi ei esine ja
vastav diferentsiaalvхrrand aega ei sisalda.
      Juba varem leidsime, et vхnkumiste vхrrand on teist jдrku
diferentsiaalvхrrand. Nдiteks massi ajaliste vхnkumiste jaoks oli
pхhiprintsiip, et tasakaalu poole suunatud jхud on vхrdeline hдlbega
tasakaalupunktist, seega kiirendus on vхrdeline hдlbega tasakaalupunktist.
Ruumilise vхrrandi pхhimхte on sama, ainult jхu ja kiirenduse mхistet siin
kasutada ei saa:
                            
Vхrrand on ьhemххtmeline, kus mingi suurus A lainetab x-telje suunas. Kui
lainetus vхib esineda kolmes ruumisuunas, siis kirjutatakse
lainefunktsiooni lьhidalt
                 , kus 

Asendades  saame
                            
Et lainete oluliseks parameetriks on mitte kiirus, vaid energia, siis
avaldame kiiruse kineetilise energiaga kui koguenergia ja potentsiaalse
energia vahega:
                             
ja
                            
See on kvantmehaanika pхhivхrrand, nn. Schrцdingeri vхrrand, ja tema
kolmemххtmeline lahend esitabki lainefunktsiooni, mis kirjeldab
elementaarosakest kui seisvat lainet potentsiaaliaugus. Viimane tingimus
tдhendab, et lahend on olemas kui koguenergia on negatiivne. Selle vхrrandi
ruumiline (kolmemххtmeline) lahend esitabki elementaarosakese kui
vхnkumise. Lainetav osakene vхib esinaeda teatud tхenдosusega igas
ruumipunktis. Osakese esinemise tхenдosuse tihedust kirjeldab
lainefьnktsiooni ruut  ja tema leidmise tхenдosus ruumiosas dV on
. Tuuma ьmber tiirleva elektroni korral on koguenergia mддratud Bohri
aatomi jaoks leitud tingimustega ja lainete arv mingil energianivool on
vхrdne tдisarvuga n, mis iseloomustas seda energianivood.
      Oluline on tдhele panna, et Schrцdingeri vхrrand ei sisalda aega,
seega elektroni leidmise tхenдosus mingis punktis on kogu aeg ьks ja
seesama, elektron asub kogu aeg mingis piiratud ruumiosas. Elektroni hoiab
selles ruumiosas elektrivдli, mille potentsiaal on negatiivne, st., mis
tхmbab elektroni. Tхmbavat, madalama potentsiaaliga (elektroni
potentsiaalse energiaga) ruumiosa nimetatakse ‘potntsiaaliauguks’,
analoogia pхhjal auguga maapinnas, kuhu sissekukkunud kehad sealt ise enam
vдlja ei pддse. Tuumale lдhenenud elektron ongi kukkunud potentsiaaliauku.
Joonisel on nдidatud lihtsaim ьhemххtmelise potentsiaaliaugu juht, kus
vдljaspool ‘auku’ on potentsiaal ьhtlaselt kхrgem ja augus sees ьhtlaselt
madalam, tuletades meelde nдiteks kaevu maapinnas. Elektroni lainetamist
niisugune potentsiaaliaugus on matemaatiliselt lihtne arvutada, sest
summaarne energia E-Ep on augus sees kхikjal sama ja vхrrand (???) laheneb
sinusoidaalsete vхnkumistena. Tдhtis on, et vхrrand ei lahene mitte
igasuguse energiavддrtuse puhul, vaid ainult niisuguste puhul, mis
vхimaldavad augu mххtmesse paigutada tдisarvu poollaineid. Sisuliselt
tдhendab see tingimus, et augu servas, kus potentsiaal jдrsult tхuseb, peab
elektroni leidmise tхenдosus olema null (vt. joonist). Siit tulenebki
potentsiaaliaugus asetseva lainetava elektroni lubatud energia
kvantiseeritus, mille tulemusena vхrrand laheneb ainult teatud
tдisarvuliste kordajatega n seotud energiavддrtuste jaoks. Kvantarvu n mхte
on sama, mis Bohri aatomis, ta seob elektroni lubatud energia Plancki
konstandi h kaudu vхnkesagedusega, lainepikkusega, mis tдpselt mahub
‘potentsiaaliauku’.
      Kuigi elektroni leidmise tхenдosus mingis ruumipunktis on konstant,
sхltub see oluliselt, millist ruumipunkti me vaatleme. Nдiteks
potentsiaaliaugu serval on see null ja on null iga poollaine jдrel.
Poollaineid on seda rohkem, mida kхrgem on elektroni energia. Muide,
tдpselt null on elektroni leidmine seina-ддres ainult siis kui ‘sein’ on
lхpmatu kхrge, st. potentsiaaliauk on vдga sьgav, vдga madala
pontentsiaaliga. Madalasse seina tungib elektron veidi sisse, ja kui see
sein ei ole mitte vдga paks, siis ulatub lektroni lainetus veidi ka
naaberauku (Joonis tunnelefekti kohta). Seega, elektron, mis asub piiratud
madala potentsiaaliga ruumiosas vхib siiski teatud vдikese tхenдosusega
sattuda ka naaberauku, kuigi nende vahel on sein. Seda nдhtust nimetatakse
tunneleffektiks ja sellel on bioloogias suur tдhtsus elektroni
ьlekandeprotsessides: Kui lдhestikku asuvad kaks aatomit, siis vхib
elektron kanduda ьle ьhelt teisele, kuigi vahepeal on kхrge potentsiaaliga
ruumiosa (‘sein’).
      Nagu цeldud, on Schrцdingeri vхrrand lihtne lahendada ja annab
siinusekujulised lained ainult siis kui summaarne energia on
potentsiaaliaugus konstantne. Aatomituuma ьmbruses aga on potentsiaaliauk
hoopis sьgava lehtri kujuline, langedes pццrdvхrdeliselt kaugusega tuumast.
See teebki vхrrandi lahendamise keeruliseks ja annab tulemuseks mitte
konstantse lainepikkusega siinuselised lained, vaid pidevalt lьheneva
lainepikkusega lained, seda lьhema lainepikkusega, mida madalam on
potentsiaal antud kaugusel. Kirjutame need lahendid vesiniku aatomi jaoks
siiski vдlja, sest nendest tulenevad kvantarvud, n, l, ja m, mis mддravad
elektronide vхimaliku paigutuse aatomis.


      Elektroni lainetus vesiniku aatomis


Schrцdingeri vхrrandi lahendamine ьmber tuuma asetseva elektroni jaoks on
eelmises punktis vaadeldust keerukam kahel pхhjusel: esiteks, lahend ei ole
mitte ьhemххtmeline, vaid kolmemххtmeline ja potentsiaaliauk ei ole mitte
sileda pхhjaga, vaid lehtrikujuline. Kuna probleem on ilmselt
tsentraalsьmmeetriline, siis on otstarbekas Schrцdingeri vхrrand kirjutada
ruumilistes polaarkoordinaatides r, v ja ?. Tuletame meelde, et rist-ja
polaarkoordinaadid on omavahel seotud jдrgmiselt:
             ja    
Asendades need Scrцdingeri kolmedimensionaalsesse vхrrandisse saame
matemaatiliselt jдrgmise ьldvхrrandi elektroni kohta vesiniku aatomis

Siin me on elektroni mass. Selle vхrrandi lahendamine ьldjuhul ei olegi
vхimalik, vaid vaja on teha teatud eeldusi. Nimelt eeldatakse, et
kolmemххtmeline lainefunktsioon ? avaldub kolme ьhemххtmelise
lainefьnktsiooni korrutisena:
                       
See on fььsikaliselt vдga oluline koht, eeldades, et vхnkumised kolmes
eraldi ruumi suunas toimuvad sхltumatult, ьksteist mхjutamata. Elektroni
summaarne energia kujuneb vдlja kolmesuunaliste vхnkumiste energiate
summana. Rakendades seda eeldust ja tehes matemaatilised teisendused saame
kolm eraldi vхrrandit, igaьks oma koordinaadis toimuvate vхnkumiste kohta:



Nendes vхrrandites m ei ole elektroni mass vaid mingi tдisarv, samuti nagu
?.

Esimene kolmest vхrrandist lahendub vдga lihtsalt. Nagu oodatud, on
vхnkumised polaarnurga suunas siinuselised, sest asimuudi ? suunas on ju
potentsiaalne energia konstantne. Tдisarv m on siin lubatud energiat
mддrava kvantarvu rollis.

Samuti annab siinuselise lahendi teine vхrrand, sest ka polaarnurga v
suunas on potentsiaalne energia konstantne. Siin on aga lahend keerukam,
sest sisldab kahte kvantarvu, m ja ?. Keerukaim lahend on aga
raadiusesuunaline, sest siin on potentsiaalne enegia muutlik,
pццrdvхrdeline raadiusega. Ometi onkasee lahendatud ja leitud tingimused
kvantarvu n jaoks, mille puhul lahend on olemas (lubatud energiate
vдartused).
      Ьlatoodud vхrrandites on kvantarvud esitatud siiski keerukamal kujul
kui lihtsas Schrцdingeri vхrrandis. Pхhjus on selles, et, nagu mainisime,
on elektroni summaarne energia nььd mддratud kolme energia summaga,
vastavalt igas koordinaadis toimuvale vхnkumisele. Keemiliste ja
fььsikaliste protsesside jaoks on aga tihti kхige tдhtsam summaarne
energia, pealegi vхimaldaks ьhe summaarset energiat vдljendava kvantarvu
sissetoomine siduda kolmemххtmeliselt vхnkuva elektroni ьhemххtmeliselt
tiirleva elektroni kvantiseeritud energiaga, nii nagu see oli Bohri
aatomis. Seega, tuleks tuua sisse peakvantarv n, mis nдitab kхigis
koordinaatides toimuvate vхnkumiste  energiate summat, ja kхrvalkvantarvud,
mis nдitavad, kui suur osa summaarsest energiast on jaotunud ьhe vхi teise
koordinaadi suunas. Niisuguset loogikast tulenebki, et vхrrandid ? ja ?
jaoks sisaldavad juba ise mingeid tдisarve, mis on allutatud tдisarvule n,
mis ei sisaldu R vхrrandis vaid tuleneb selle lahenduvuse tingimusena. See
alluvuste jada on jдrgmine:
Tдisarv n, peakvantarv, vхib omada tдisarvulisi positiivseid vддrtusi
alates nullist: n=0, 1, 2, 3, ...
Fььsikaliselt, n nдitab vхngete (lainete) koguarvu raadiuse r ja tхusunurga
v suunas kokku.
Valemis ???  kus l vхib omada positiivseid tдisarvulisi vддrtusi 0, 1,
2, 3, ...n-1. Suurust l nimetatakse orbitaalkvantarvuks ja see nдitab, mitu
vхnget on tхusunurga suunas. Vхnked asimuudi ? suunas ei muuda elektroni
energiat muidu kui aatom ei asetse vдlises magnetvдljas. Seetхttu ei olegi
asimuudisuunalisi vхnkeid energiat mддravate vхngete koguarvu sisse loetud
ja kvantarvu m nimetatakse magnetkvantarvuks. Tema lubatud vддrtused on
allutatud orbitaalkvantarvu l vддrtustele ja vхivad olla vahemikus
–l..0..+l.
      Seega, seoses sellega, et ruum on kolmemххtmeline, on elektronil kolm
kvantarvu, mis iseloomustavad vхngete arvu iga koordinaadi suunas. Selleks,
et ьks kvantarv iseloomustaks vхimalikult hдsti koguenergiat, on vхrrandid
lahendatud nii, et peakvantarv n vastab kahe koordinaadi raadiuse ja
tхusunurga suunas toimuvate vхngete koguarvule.Asimuudi suunas toimuvad
vхnked ei mхjuta elektroni koguenergiat muidu kui aatom ei asetse vдlises
magnetvдljas, seetхttu on magnetkvantarv m summast vдlja jдetud.  Peame
meeles jдrgmised reeglid:
      n=1,2,3,4,5....
      l=0, 1, 2 ...(n-1)
      m=0, ±1, ±2, ...±l.
Peakvantarv n vхib omada positiivseid tдisarvulisi vддrtusi.
Orbitaalkvantarv ehk kхrvalkvantarv l vхib omada tдisarvulisi vддrtusi
alates nullist kuni ьhe vхrra vдiksema vддrtuseni kui n. See tдhendab, et
tхusunurga suunas ei pruugi toimuda ьhtegi vхnget, vхib toimuda ьks, kaks
jne, vхnget, kuid vдhemalt ьks vхnge peab jддma raadiuse suunale, muidu
kaotaks aatom raadiusemххtme, mis on ju ainuke pikkuse dimensiooniga suurus
kolme polaarkoordinaadi hulgas.
Magnetkvantarv m on allutatud kхrvalkvantarvule ja vхib omada vддrtusi
alates –l lдbi nulli kuni +l –ni. Keemikud on mugavuse mхttes tдhistanud
kvantarvude vддrtusi ka tдhtedega:
Peakvantarvu jaoks: K(n=1); L(n=2); M(n=3); N(n=4) jne
kхrvalkvantarvu jaoks: s(l=0); p(l=1); d(l=2) f(l=3).
      Joonisel on illustreeritud rariaalkomponendi R kuju sхltuvalt
peakvantarvu n ja kхrvalkvantarvu l vдartustest. Kui n=1 siis on elektronil
ainult ьks laine ja see peab olema raadiusesuunaline (l=0). Laine ei ole
aga siinuseline, vaid muutub vдga kхrgeks ja teravaks tuumale lдhedases
ruumiosas, seoses sellega, et seal potentsiaaliauk kukub kiiresti sьgavaks.
Kui n=2 ja l=0, on raadiusesuunas kaks lainet, kui n=3 ja l=0, on
raadiusesuunas kolm lainet. Nььd on eriti selgesti nдha, kuidas
potentsiaali langemine tuuma suunas pхhjustab lainepikkuse pidevat
lьhenemist. Pange tдhele ka, kui kaugele aatomi tsentrist elektroni lained
ulatuvad: ьhe vхnke puhul umbes 4 A (A=Ongstrцm, = 10-10 m= 0.1 nm), kahe
vхnke puhul 6A ja kolme puhul 12 A. See arv kahekordselt on vesinikuaatomi
lдbimххt sхltuvalt sellest missugusel energianivool elektron asub (kas
n=1,2 vхi 3). Seega, pхhisesundis n=1 katab aatomi lainefunktsioon
diameetri umbes 8A, kuid ergastatud seisundis (n=2 vхi 3) kuni 20 A. Kui l
=1, on raadiuse suunas ьks vхnge vдhem, kui l=2 siis kaks vхnget vдhem,
kuid aatomi ьldmххt sellest ei muutu, vaid raadiusesuunaline lainepikkus
vastavalt suureneb. (Kuidas see ьhtib vдitega, et muutujate lahutamine
tдhendab eeldust, et vхnked kolmes koordinaadis on sхltumatud??).
      Eelmises lхigus leidsime, et elektroni leidmise tхenдosuse tihedust
esitab lainefunktsiooni ruut (lainefunktsioon vхib olla ka negatiivne, kuid
ruut on ikka positiivne). Tхenдosuse tihedus korrutatud vastava ruumi
suurusega annab elektroni leidumise tхenдosuse selles ruumiosas. Juhul kui
l=0 on lainefunktsioon maksimaalne kohal r=0, seega tuuma vahetus ьmbruses
on elektroni tхenдosustihedus suurim. Kuna aga tuum ise on tohutult pisike
(ruum vдheneb raadiuse kuubiga!) siis elektroni leidumise tхenдosus otse
tuumas on ikkagi vдga-vдga vдike, nagu nдha ka vastavalt jooniselt.
Sхltuvalt raadiusesuunaliste leinete arvust moodustab elektron
tхenдosuspilve millel on ьks, kaks, kolm vхi enam suurma tihedusega kohta,
tuumast keskmiselt seda kaugemal, mida suusrem on n. See langeb kokku Bohri
aatomi analььsil saadud tulemusega, et elektron vхib tiirelda kindlatel
kaugustel, seda kaugemal, mida suurem on energia, kuid lainemehaanikast
nдeme, et elektroni orbiit ei ole mitte kindel joon vaid muutuva tihedusega
tхenдosuse pilv.
      Pilt lдheb veelgi huvitavamaks kui katsume lainefunktsiooni kolme
koordinaadi suunalisi komponente korraga ette kujutada, seega aatomi
ruumilist pilti ette kujutada.  Aatom on lihtne kerakujuline ainult juhul
kui vхnked on ainult raadiuse suunas (l=0 ehk s-orbitaalid). Kui l=1 (p-
orbitaalid) on tхusunurga suunas ka vхnge, mis moonutab kerakujulise
tхenдosuspilve kaheksakujuliseks. See kaheksakujuline moodustis vхib ruumis
paikneda kolmel viisil, vastavalt m=-1,0+1, nii nagu nдidatud joonisel. Kui
vдlist magnetvдlja ei ole, siis need erinevad paiknemisviisid koguenergiat
ei mхjuta. Magnetvдlja olemasolul aga mхjutavad ja vastavalt jagunevad
spektrijooned kolmeks. Siit siis kolmanda kvantarvu nimetuski -
magnetkvantarv. Kui l=2 ja tхusunurga suunas on kaks vхnget, tekivad veelgi
kummalisema kujuga moodustised viiel erineval moel. Seega, joonisel ??
toodud raadiusesuunalised tхenдosuspilved l vддrtuste 1 ja 2 jaoks on
kehtivad nendes ristlхigetes kus raadiusesuunaline tхenдosus on
maksimaalne.
      Milleks me bioloogilises fььsikas tungime nii sьgavale
kvantmehaanikasse? Selleks, et mхista, et ainult tдnu aatomite lainelisele
ehitusele on elu vхimalik. Elusstruktuurid moodustuvad keerukast aatomite
sьsteemist, mis seostuvad ьksteisega kindlates jдrjestustes ja kindlates
suundades. Ruumiline struktuursus on ju valgu molekuli  peamine omadus. Kui
kхik valku moodustavad aatomid oleksid kujult ьmargused nagu herneterad
(nдit. nagu Bohri aatomi ringikujulised orbiidid), siis ei oleks aatomite
sidumine kindlates suundades vхimalik. Ei ole ju herneteradest vхimalik
kokku panna keerulisi ehitisi, kьll on see aga vхimalik nдiteks Logo
elementidest, mis ei ole ьmargused. Isegi lihtne vee molekul nдeks siis
hoopis teistsugne vдlja kui aatomid oleksid ьmargused. Tдnu sellele, et p
ja d orbitaalid (l=1 ja 2) moodustavad ruumilis kujundeid millel on
vдljavenitused kindlates suundades, haakuvad nendega teiste aatomite p- ja
d-elektronid moodustades kindlasuunalisi sidemeid. Niimoodi, ьksteisest
kindlatel kaugustel ja kindlates suundades paigutatud aatomitest ehituvad
ьles elusaine molekulid, nendest omakorda rakud ja koed ja organismid.
Aatomite paigutus molekulis ja molekulide omavaheline haakumine mддrabki
selle kuidas elusaine ьles ehitatakse. Seega, elu olemust saab mхista
ainult mхistes kvantmehaanika pхhialuseid.

Mitme elektroniga aatomid

Kuigi vesinik on ьks tдhtsamaid looduses esinevaid elemente, on bioloogias
siiski tдhtsad veel sьsinik, lдmmastik, hapnik ja veel mitmed teised
elemendid. Sьsinikul on kuus, lдmmastikul seitse ja hapnikul kaheksa
elektroni. Kvantmehaanilist lainevхrrandit saab aga tдpselt lahendada
ainult kahe keha jaoks, seega ьhe elektroni ja ьhe prootoni jaoks. Mitme
elektroniga aatomites on oluline veel elektronide omavaheline mхju ja selle
tдpne arvestamine ei ole vхimalik. Meie siin unustame elektronide
vastatstikuse mхju ja kujutame ette, missugune oleks mitme elektroniga
aatom kui elektronid omavahel ьksteist ei mхjutaks vaid kхik oleksid
vastasmхjus ainult tuumaga.
      Kui elektrone on mitu, on ka prootoneid mitu ja vastavalt on tuuma
laeng suurem ja elektriline kьlgetхmme tugevam. Seega on tuuma ьmbruses
‘potensiaaliauk’ sьgavam (potentsiaalne energia langeb kiiremini) ja
pхhisesundi n=1 lainefunktsioon koondub tuumale lдhemale. Samuti on tuumale
lдhemal ka teised, kхrgemale energiale vastavad orbitaalid. Kuidas aga
paigutuvad elektronid, kas kхik ьhel, kхige madalama energiaga orbitaalil?
Ei, selgub, et tдpselt ьhesuguse lainefunktsiooniga elektrone saab aatomis
olla ainult ьks. See on nn. Pauli printsiip, mille kohaselt elektronid
jaotuved erinevate energianivoode vahel tдites need madalamast kхrgemani.
Seega peaks igale orbitaalile mahtuma ainult ьks elektron, mis on
iseloomustatud kolme kvantarvuga n, l, m. Selgub aga, et elektronil on veel
ьks omadus, mis lisab veel ьhe kvantarvu, spinn s, mis kirjeldab elektroni
sisemine pццrlemise suunda. Kuigi on raske ette kujutada kuidas ьks
tхenдosuspilv veel sisemiselt iseenese ьmber pццrleb nagu vдrten (inglise
keeles “spin”) ilmneb see sellest, et elektronil on magnetmoment. Iga
elektron on nagu pisike magnetike, mis vхib olla suunatud tuuma magnetvдlja
suhtes (ka tuumal on magnetmoment) kahes erinevas suunas.  Vastavatest
vхrranditest tuleneb selle kvantarvu vддrtuseks kas +1/2 vхi –1/2. Ьhele ja
samale orbitaalile mahub seega kaks elektroni, ьks spinniga =1/2 ja teine
spinniga –1/2. Nььd on meil kдes kхik tingimused, et asuda ьles ehitama
paljuelektroniliste aatomite elektronkatte struktuuri: elektrone tuleb
juurde lisada orbitaalidele jдrjekorras, alates madalamate energiatega
seisunditest kхrgemate suunas, mahutades igale orbitaalile mitte rohkem kui
kaks elektroni. Teeme selle programmi lдbi kuni teise perioodi (n=2) kхigi
nivoode tдitumiseni, sest see kaasab ka bioloogiliselt tдhtsad elemendid C,
N, O.

H:    n=1;l=0;m=0;s=1/2      ьks paardumata spinniga elektron, keemiliselt
aktiivne

He:   n=1;l=0;m=0;s=1/2
      n=1;l=0;m=0;s=-1/2     kхik elektronid paardunud spinnidega, inertgaas

Li:   n=1;l=0;m=0;s=1/2
      n=1;l=0;m=0;s=-1/2
      n=2;l=0;m=0;s=1/2      ьks paardumata spinniga elektron, keemiliselt
aktiivne

Be:   n=1;l=0;m=0;s=1/2
      n=1;l=0;m=0;s=-1/2
      n=2;l=0;m=0;s=1/2
      n=2;l=0;m=0;s=-1/2     kхik elektronid paardunud spinnidega,
keemiliselt inertne

B:    n=1;l=0;m=0;s=1/2
      n=1;l=0;m=0;s=-1/2
      n=2;l=0;m=0;s=1/2
      n=2;l=0;m=0;s=-1/2
      n=2;l=1;m=-1;s=1/2     ьks paardumata spinniga elektron, keemiliselt
aktiivne

C:    n=1;l=0;m=0;s=1/2
      n=1;l=0;m=0;s=-1/2
      n=2;l=0;m=0;s=1/2
      n=2;l=0;m=0;s=-1/2
      n=2;l=1;m=-1;s=1/2
      n=2;l=1;m=0;s=1/2      kaks paardumata spinniga elektroni,
keemiliselt aktiivne



N:    n=1;l=0;m=0;s=1/2
      n=1;l=0;m=0;s=-1/2
      n=2;l=0;m=0;s=1/2
      n=2;l=0;m=0;s=-1/2
      n=2;l=1;m=-1;s=1/2
      n=2;l=1;m=0;s=1/2
      n=2;l=1;m=1;s=1/2      kolm paardumata spinniga elektroni,
keemiliselt aktiivne



O:    n=1;l=0;m=0;s=1/2
      n=1;l=0;m=0;s=-1/2
      n=2;l=0;m=0;s=1/2
      n=2;l=0;m=0;s=-1/2
      n=2;l=1;m=-1;s=1/2
      n=2;l=1;m=-1;s=-1/2
      n=2;l=1;m=0;s=1/2
      n=2;l=1;m=1;s=1/2      kaks paardumata spinniga elektroni,
keemiliselt aktiivne


F:    n=1;l=0;m=0;s=1/2
      n=1;l=0;m=0;s=-1/2
      n=2;l=0;m=0;s=1/2
      n=2;l=0;m=0;s=-1/2
      n=2;l=1;m=-1;s=1/2
      n=2;l=1;m=-1;s=-1/2
      n=2;l=1;m=0;s=1/2
      n=2;l=1;m=0;s=-1/2
      n=2;l=1;m=1;s=1/2      ьks paardumata spinniga elektron, keemiliselt
aktiivne

Ne:   n=1;l=0;m=0;s=1/2
      n=1;l=0;m=0;s=-1/2
      n=2;l=0;m=0;s=1/2
      n=2;l=0;m=0;s=-1/2
      n=2;l=1;m=-1;s=1/2
      n=2;l=1;m=-1;s=-1/2
      n=2;l=1;m=0;s=1/2
      n=2;l=1;m=0;s=-1/2
      n=2;l=1;m=1;s=1/2
      n=2;l=1;m=1;s=-1/2          kхik elektronid paardunud spinnidega,
inertgaas

Ьlaltoodud orbitaalide tдitumise jдrjekorrast nдeme, et kхigepealt tдituvad
orbitaalid ьhe elektroniga ja alles nende vхimaluste ammendumisel asub
teine, vastupidise spinniga elektron samale orbitaalile.
      Illustratsiooniks toome tдieliku perioodilise sьsteemi tabeli, mis
nдitab orbitaalide tдitumise jдrjekorda ka kхrgema n vддrtuse jaoks kui
n=2. Pхhimхte on see, et s-orbitaalidele (l=0) mahub kaks elektroni
2x(m=0); p-orbitaalidele (l=1) mahub kuus elektroni 2x(m=-1,0+1); d-
orbitaalidele (l=2) mahub kьmme elektroni (m=-2,-1,0,1,2). Aga juba alates
komanda perioodi lхpust tekivad ebaregulaarsused, mis on pхhjustatud
sellest, et vхnked tхusunurga suunas on mхnevхrra energiarikkamad kui
vхnked raadiuse suunas. Seetхttu pдrast Argooni (Ar) oleks oodata
elektronide asumist 3d nivoole, kuid K ja Ca aatomites tдituvad enne
hoopiski 4s orbitaalid, mis asuvad energeetiliselt madalamal kui 3d
orbitaalid. Alles seejдrel tдituvad jдrjekorras 3d orbitaalid, jдttes 4s
orbitaalile kogu aeg 2 (vхi ьks ) elektroni. Seetхttu omab terve rida
aineid Sc kuni Zn –ni keemiliselt sarnaseid metallilisi omadusi ja terve
see rida kannab ьhist nimetust muldmetallid. Samasugused ebaregulaarsused
korduvad veelgi enam kхrgemate n vддrtuste puhul. Bioloogias on olulised
elemendid Fe, Cu, Mn, mis vхivad kergesti loovutada ьhe vхi kaks vдliskihi
(n=4) elektroni, kuigi eelmises, 3d kihis on veel vabu orbitaale. Neid
viimaseid, vabu 3d orbitaale, on loodus osanud kasutada nende aatomite
sidumiseks valkudega, et neid paigutada kindlatele kohtadele ja seal
fikseerida, samal ajal kui n=4 kihi elektrone saab aatom loovutada vхi
juurde vхtta. Seetхttu on nimetatud metallid kхige tььpilisemad elektroni
ьlekandjad, olles kinnistatud nn. tsьtokroomidesse (Fe) vхi teistesse
valkstruktuuridesse (Cu, Mn).
      Huvitaval kombel on plaatina ja kulla (Pt, Au) vдliskihi struktuur
sarnane kaaliumi (K) omaga. Viimane on aga keemiliselt vдga aktiivne, samal
ajal kui kuld vхib kolmsada aastat merevees pьsida tuhmumata.
1 2 3 4 5 6