Распределение (2. Пусть имеется n независимых случайных величин (1, (2, ..., (n, распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Тогда случайная величина распределена по закону, который называется “распределение (2” или “распределение Пирсона”. Очевидно, что она может принимать лишь неотрицательные значения. Число n называется числом степеней свободы. При n > 1 график плотности распределения случайной величины (2 представляет собой кривую, изображенную на рисунке 1. Для того, чтобы определить вероятность попадания случайной величины (2 в какой-либо промежуток из множества положительных чисел, пользуются таблицей распределения (2. Обычно такая таблица позволяет |q |0,99 |0,975 |0,95 |...|0,1 |0,05 |0,01 | |n | | | | | | | | |1 |0,0315|0,0398|0,0239|...|2,71 |3,84 |6,63 | |...|... |... |... |...|... |... |... | |10 |2,56 |3,25 |3,94 |...|16,0 |18,3 |23,2 | |...|... |... |... |...|... |... |... | Таблица 1. по вероятности q и по числу степеней свободы n определить так называемый квантиль (q2, если q и (q2 связаны соотношением P((2 > (q2) = q. Эта формула означает: вероятность того, что случайная величина (2 примет значение, большее чем определенное значение (q2, равна q. Таблица 1 представляет собой фрагмент таблицы распределения (2. Из него видно, что случайная величина (2 с 10-ю степенями свободы с вероятностью q = 0,95 принимает значение, большее 3,94, а та же величина с одной степенью свободы с вероятностью q = 0,975 превышает 0,00098. Задача. Найти интервал ((12, (22), в который случайная величина (2 с 10-ю степенями свободы попадает с вероятностью, равной 0,9. Решение. График плотности распределения (2 с 10-ю степенями свободы схематично изображен на рисунке 2. Будем считать, что площади заштрихованных областей (правая область не ограничена справа) равны между собой. Примем условия: P((2 < (12) = P((2 > (22) = (1 - 0,9)/2 = 0,05, (1) тогда P((12 < (2 < (22) = 0,9. Равенства (1) сразу позволяют по таблице определить: (22 = 18,3. Для определения левой границы интересующего нас интервала придется воспользоваться очевидным равенством P((2 > (12) = 0,95. Из таблицы 1. определяем: (12 = 3,94 , и теперь можно сформулировать ответ задачи: значение случайной величины (2 с вероятностью 0,9 принадлежит интервалу (3,94; 18,3). Распределение Стьюдента. Многие задачи статистики приводят к случайной величине вида , где ( и ( – независимые случайные величины, причем ( – нормально распределенная случайная величина с параметрами M( = 0 и D( = 1, а ( распределена по закону (2 c k степенями свободы. Закон распределения случайной величины t называется законом распределения Стьюдента с k степенями свободы. График плотности распределения для закона Стьюдента схематически изображен на рисунке 3. Кривая плотности распределения схожа с аналогичной кривой для нормального распределения. Таблицы распределения Стьюдента позволяют при данном числе степеней свободы k по вероятности q определить значение tq, для которого выполняется соотношение P((t( > tq) = q. Фрагмент такой таблицы представляет собой таблица 2. | q|0,1 |0,05 |... |0,01 |0,005 |... | | | | | | | | | |k | | | | | | | |1 |6,314 |12,71 |... |63,57 |318 |... | |... |... |... |... |... |... |... | |12 |1,782 |2,179 |... |3,055 |3,428 |... | |... |... |... |... |... |... |... | |Таблица 2 | Задача. Найти симметричный интервал, в который случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы, попадает вероятностью 0,9. Решение. Очевидны соотношения: P(–x < t < x) = P((t( < x) = 1 – P((t( ( x) = 0,9. Из последнего равенства следует: P((t( ( x) = 0,1 , (n = 12). Определяем из таблицы: x = 1,782. Нестрогое неравенство в скобках в левой части последней формулы нас не должно смущать, так как мы имеем дело с непрерывной случайной величиной, и вероятность того, что она примет конкретное значение, равна нулю. Задача. Найти значение x из условия P(t > x) = 0,995 , где t – случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы. Решение. На рисунке 4 изображен график плотности распределения Стьюдента с 12-ю степенями свободы. Вероятность того, что случайная величина примет значение из области справа от точки x1 равна 0,995 , следовательно в область левее этой точки случайная величина попадает с вероятностью 0,005. Чтобы найти x1, рассмотрим две симметричные области, изображенные на рисунке 5. Допустим, что в каждой из этих областей значение случайной величины оказывается с вероятностью 0,005. Тогда получаем: x1= – x, x2 = x, причем x определяется из условия P((t( > x) = 0,01. Из таблицы 2 находим: x = 3,055. Теперь можно выписать ответ задачи: P(t > –3,055) = 0,995. Распределение Фишера. Важные приложения имеет в статистике случайная величина , где ( – случайная величина, распределенная по закону (2 с k1 степенями свободы, а ( – случайная величина, распределенная по закону (2 с k2 степенями свободы. Случайная величина F распределена по закону, называемому законом распределения Фишера с k1 и k2 степенями свободы. При заданных числах k1 и k2 и по вероятности q по таблице определяется значение Fq такое, что P(F > Fq) = q. Обычно таблицы составляются для значений q, равных 0,05 или 0,01, а иногда для обоих этих значений. Фрагмент такой таблицы представляет собой таблица 3. | |1 |... |10 |... |20 |... | |k1 | | | | | | | |k2 | | | | | | | |1 |161,4 |... |241,9 |... |248 |... | | |647,8 | |6056 | |6209 | | |... |... |... |... |... |... |... | |10 |4,96 |... |2,97 |... |2,77 |... | | |10,04 | |4,85 | |4,41 | | |... |... |... |... |... |... |... | |Таблица 3. | В этой таблице в верхней части каждой клетки дается значение Fq при q = 0,05 , а в нижней части — при q = 0,01.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18