Биномиальный закон распределения. Пусть заданы числа n ( N и p (0( p ( 1). Тогда каждому целому числу из промежутка [0; n] можно поставить в соответствие вероятность, рассчитанную по формуле Бернулли. Получим закон распределения случайной величины (назовём её () |( |0 |( |k |( |n | |Р |( |( | |( |( | Будем говорить, что случайная величина ( распределена по закону Бернулли. Такой случайной величиной является частота появления события А в n повторных независимых испытаниях, если в каждом испытании событие А происходит с вероятностью p. Рассмотрим отдельное i-е испытание. Пространство элементарных исходов для него имеет вид Определим на этом пространстве случайную величину (i следующим образом: (i = 1, если происходит событие А; (i = 0, если происходит событие Закон распределения случайной величины (i рассматривался в предыдущем параграфе. |(i |1 |0 | |Р |p |q = 1–p| M( = (р; D( = рq Для i = 1,2,(,n получаем систему из n независимых случайных величин (i, имеющих одинаковые законы распределения. Если теперь сравнить законы распределения двух случайных величин ( и , то можно сделать очевидный вывод: ( = . Отсюда следует, что для случайной величины (, имеющей закон распределения Бернулли, математическое ожидание и дисперсия определяются формулами M( = M= = = np; D( = D= = = npq Найдём оценку величины р — вероятности успеха в одном испытании некоторого биномиального эксперимента. Для этого проведём n испытаний и подсчитаем х – число успехов. Оценку р* неизвестной величины р определим формулой р* = . Пример. Из 20 отобранных для контроля образцов продукции 4 оказались нестандартными. Оценим вероятность того, что случайно выбранный экземпляр продукции не отвечает стандарту отношением р* = 4/20 = 0,2. Так как х случайная величина, р* – тоже случайная величина. Значения р* могут меняться от одного эксперимента к другому (в рассматриваемом случае экспериментом является случайный отбор и контроль 20-ти экземпляров продукции). Каково математическое ожидание р*? Поскольку х есть случайная величина, обозначающая число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли, Мx = np. Для математического ожидания случайной величины р* по определению получаем: Mp* = M, но n здесь является константой, поэтому по свойству математического ожидания Mp* = Таким образом, “в среднем” получается истинное значение р, чего и следовало ожидать. Это свойство оценки р* величины р имеет название: р* является несмещённой оценкой для р. Отсутствие систематического отклонения от величины оцениваемого параметра р подтверждает целесообразность использования величины р* в качестве оценки. Вопрос о точности оценки пока оставляем открытым.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18