Правило 3-х ( (трех “сигм”).
Пусть имеется нормально распределённая случайная величина ( с
математическим ожиданием, равным а и дисперсией (2. Определим вероятность
попадания ( в интервал (а – 3(; а + 3(), то есть вероятность того, что (
принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не более, чем
на три среднеквадратических отклонения.
P(а – 3(< ( < а + 3()=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3)
По таблице находим Ф(3)=0,49865, откуда следует, что 2Ф(3) практически
равняется единице. Таким образом, можно сделать важный вывод: нормальная
случайная величина принимает значения, отклоняющиеся от ее математического
ожидания не более чем на 3(.
(Выбор числа 3 здесь условен и никак не обосновывается: можно было
выбрать 2,8, 2,9 или 3,2 и получить тот же вероятностный результат.
Учитывая, что Ф(2)=0,477, можно было бы говорить и о правиле 2–х “сигм”.)
Совместное распределение двух случайных величин.
Пусть пространство элементарных исходов ( случайного эксперимента
таково, что каждому исходу (ij ставиться в соответствие значение случайной
величины (, равное xi и значение случайной величины (, равное yj.
Примеры:
1. Представим себе большую совокупность деталей, имеющих вид стержня.
Случайный эксперимент заключается в случайном выборе одного стержня.
Этот стержень имеет длину, которую будем обозначать ( и толщину—(
(можно указать другие параметры—объем, вес, чистота обработки,
выраженная в стандартных единицах).
2. Если результат эксперимента—случайный выбор какого–либо предприятия в
данной области, то за ( можно принимать объем производства отнесенный
к количеству сотрудников, а за (—объем продукции, идущей на экспорт,
тоже отнесенной к числу сотрудников.
В этом случае мы можем говорить о совместном распределении случайных
величин ( и ( или о “двумерной” случайной величине.
Если ( и ( дискретны и принимают конечное число значений (( – n
значений, а ( – k значений), то закон совместного распределения случайных
величин ( и ( можно задать, если каждой паре чисел xi, yj (где xi
принадлежит множеству значений (, а y j—множеству значений () поставить в
соответствие вероятность pij, равную вероятности события, объединяющего все
исходы (ij (и состоящего лишь из этих исходов), которые приводят к
значениям
( = xi; ( = y j.
Такой закон распределения можно задать в виде таблицы:
|( |y1 |y2 |( |yj |( |yk | | |
|( | | | | | | | | |
|x1 |р11 |р12 |( |р1j |( |р1k |P1 | |
|( |( |( |( |( |( |( |( | |
|xi |рi1 |рi2 |( |рij |( |рik |Pi |(*) |
|( |( |( |( |( |( |( |( | |
|xn |рn1 |рn2 |( |рnj |( |рnk |Pn | |
| |P1 |P2 |( |Pj |( |Pk |( | |
Очевидно
Если просуммировать все рij в i–й строке, то получим
вероятность того, что случайная величина ( примет значение xi. Аналогично,
если просуммировать все рij в j–м столбце, то получим
вероятность того, что ( принимает значение y j.
Соответствие xi ( Pi (i = 1,2,(,n) определяет закон распределения (,
также как соответствие yj ( P j (j = 1,2,(,k) определяет закон
распределения случайной величины (.
Очевидно , .
Раньше мы говорили, что случайные величины ( и ( независимы, если
pij=Pi(P j (i=1,2,(,n; j=1,2,(,k).
Если это не выполняется, то ( и ( зависимы.
В чем проявляется зависимость случайных величин ( и ( и как ее выявить
из таблицы?
Рассмотрим столбец y1. Каждому числу xi поставим в соответствие число
pi/1= (1)
которое будем называть условной вероятностью (= xi при (=y1. Обратите
внимание на то, что это не вероятность Pi события (= xi, и сравните формулу
(1) с уже известной формулой условной вероятности .
Соответствие
xi(рi/1, (i=1,2,(,n)
будем называть условным распределением случайной величины ( при (=y1.
Очевидно .
Аналогичные условные законы распределения случайной величины ( можно
построить при всех остальных значениях (, равных y2; y3,(, yn ,ставя в
соответствие числу xi условную вероятность pi/j = ().
В таблице приведён условный закон распределения случайной величины (
при (=yj
|( |x1 |x2 |( |xi |( |xn |
|pi/j | | |( | |( | |
Можно ввести понятие условного математического ожидания ( при ( = yj
Заметим, что ( и ( равноценны. Можно ввести условное распределение (
при (=xi соответствием
(j = 1,2,(,k)
Также можно ввести понятие условного математического ожидания случайной
величины ( при (=xi :
Из определения следует, что если ( и ( независимы, то все условные
законы распределения одинаковы и совпадают с законом распределения (
(напоминаем, что закон распределения ( определяется в таблице (*) первым и
последним столбцом). При этом очевидно, совпадают все условные
математические ожидания М((/( = yj) при j = 1,2,(,k, которые равны М(.
Если условные законы распределения ( при различных значениях (
различны, то говорят, что между ( и ( имеет место статистическая
зависимость.
Пример I. Пусть закон совместного распределения двух случайных величин
( и ( задан следующей таблицей. Здесь, как говорилось ранее, первый и
последний столбцы определяют закон распределения случайной величины (, а
первая и последняя строки – закон распределения случайной величины (.
|( |1 |2 |3 | |
|( | | | | |
|10 |1/36 |0 |0 |1/36 |
|20 |2/36 |1/36 |0 |3/36 |
|30 |2/36 |3/36 |2/36 |7/36 |
|40 |1/36 |8/36 |16/36 |25/36 |
| |6/36 |12/36 |18/36 | |
Полигоны условных распределений можно изобразить на трехмерном графике
(рис. 1).
Здесь явно просматривается зависимость условного закона распределения (
от величины (.
Пример II. (Уже встречавшийся).
Пусть даны две независимые случайные величины ( и ( с законами
распределения
|( |0 |1 | |( |1 |2 |
|Р |1/3 |2/3 | |Р |3/4 |1/4 |
Найдем законы распределений случайных величин (=(+( и (=(((
|( |1 |2 |3 | |( |0 |1 |2 |
|Р |3/12 |7/12 |2/12 | |Р |4/12 |6/12 |2/12 |
Построим таблицу закона совместного распределения ( и (.
|( |0 |1 |2 | |
|( | | | | |
|1 |3/12 |0 |0 |3/12 |
|2 |1/12 |6/12 |0 |7/12 |
|3 |0 |0 |2/12 |2/12 |
| |4/12 |6/12 |2/12 | |
Чтобы получить (=2 и (=0, нужно чтобы ( приняла значение 0, а ( приняла
значение 2. Так как ( и ( независимы, то
Р((=2; (=0)= Р((=0; (=2)=Р((=0)(Р((=2)=1/12.
Очевидно также Р((=3; (=0)=0.
Построим полигоны условных распределений. Здесь зависимость ( от (
довольно близка к функциональной: значению (=1 соответствует единственное
(=2, значению (=2 соответствует единственное (=3, но при (=0 мы можем
говорить лишь, что ( с вероятностью принимает значение 1 и с
вероятностью – значение 2.
Пример III.
Рассмотрим закон совместного распределения ( и (, заданный таблицей
|( |0 |1 |2 | |
|( | | | | |
|1 |1/30 |3/30 |2/30 |1/5 |
|2 |3/30 |9/30 |6/30 |3/5 |
|3 |1/30 |3/30 |2/30 |1/5 |
| |1/6 |3/6 |2/6 | |
В этом случае выполняется условие P((=xi; (=yj)=P((=xi)(P((=yj),
i=1,2,3(; j=1,2,3,(
Построим законы условных распределений
|( |1 |2 |3 |
| |1/5 |3/5 |1/5 |
Законы условных распределений не отличаются друг от друга при (=1,2,3 и
совпадают с законом распределения случайной величины (.
В данном случае ( и ( независимы.
Характеристикой зависимости между случайными величинами ( и ( служит
математическое ожидание произведения отклонений ( и ( от их центров
распределений (так иногда называют математическое ожидание случайной
величины), которое называется коэффициентом ковариации или просто
ковариацией.
cov((; () = M(((–M()((–M())
Пусть ( = (x1, x2, x3,(, xn(, ( = (y1, y2, y3,(,yn(. Тогда
cov((; ()= (2)
Эту формулу можно интерпретировать так. Если при больших значениях (
более вероятны большие значения (, а при малых значениях ( более вероятны
малые значения (, то в правой части формулы (2) положительные слагаемые
доминируют, и ковариация принимает положительные значения.
Если же более вероятны произведения (xi – M()(yj – M(), состоящие из
сомножителей разного знака, то есть исходы случайного эксперимента,
приводящие к большим значениям ( в основном приводят к малым значениям ( и
наоборот, то ковариация принимает большие по модулю отрицательные значения.
В первом случае принято говорить о прямой связи: с ростом ( случайная
величина ( имеет тенденцию к возрастанию.
Во втором случае говорят об обратной связи: с ростом ( случайная
величина ( имеет тенденцию к уменьшению или падению.
Если примерно одинаковый вклад в сумму дают и положительные и
отрицательные произведения (xi – M()(yj – M()pij, то можно сказать, что в
сумме они будут “гасить” друг друга и ковариация будет близка к нулю. В
этом случае не просматривается зависимость одной случайной величины от
другой.
Легко показать, что если
P((( = xi)((( = yj)) = P(( = xi)P(( = yj) (i = 1,2,(,n; j = 1,2,(,k),
то cov((; ()= 0.
Действительно из (2) следует
Здесь использовано очень важное свойство математического ожидания:
математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического
ожидания равно нулю.
Доказательство (для дискретных случайных величин с конечным числом
значений).
Ковариацию удобно представлять в виде
cov((; ()=M(((–(M(–(M(+M(M()=M((()–M((M()–M((M()+M(M(M()=
=M((()–M(M(–M(M(+M(M(=M((()–M(M(
Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их
произведения минус произведение математических ожиданий.
Легко доказывается следующее свойство математического ожидания: если (
и (—независимые случайные величины, то М((()=М(М(. (Доказать самим,
используя формулу M((() = )
Таким образом, для независимых случайных величин ( и ( cov((;()=0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
