Асимптотические формулы для формулы Бернулли.
В практических задачах часто приходится вычислять вероятности
различных событий, связанных с числом успехов в n испытаниях при больших
значениях n. В этих случаях вычисления по формуле по формуле Бернулли
становятся затруднительными. Трудности возрастают, когда приходится
суммировать вероятности . К суммированию сводится вычисление
вероятностей событий вида k ( x( l, как, например, в такой задаче:
Проводится 70 испытаний по схеме Бернулли с вероятностью появления
события А в одном испытании, равной 0,4. Найти вероятность того, что
событие А произойдет от 25 до 35 раз, то есть найти Pn(25( x ( 35).
В отдельных случаях при больших n удается заменить формулу Бернулли
приближенными формулами. Такие формулы, которые получаются при условии
называются асимптотическими.
Если n достаточно велико, а p - величина очень малая, для формулы
Бернулли имеет место приближенная (асимптотическая) формула
Здесь ( - греческая буква "лямбда"). Эта формула называется
формулой Пуассона. По формуле Пуассона вычисляются вероятности числа
появлений очень редких событий в массовых испытаниях.
Задача. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. В течение часа
любой абонент независимо от остальных может сделать вызов с вероятностью
0,05. Требуется найти вероятность того, что в течение часа было не более 7
вызовов.
Здесь . Пусть x - число вызовов. Нас интересуют значения x,
равные
Если n достаточно велико, p не сильно отличается от 0,5, имеет место
формула Муавра-Лапласа, иногда называемая локальной формулой Лапласа.
, где
Из формулы видно, что одинаковые отклонения от величины np вправо и
влево здесь имеют одинаковые вероятности. В формуле Бернулли это имеет
место лишь при p=0.5.
Чтобы определить вероятность того, что в 50 испытаниях по схеме
Бернулли при p=0.45 событие А наступило 30 раз, нужно воспользоваться
таблицей значений функции . Часто встречаются таблицы значений так
называемой "локальной" функции Лапласа.
Если n достаточно велико, а p не сильно отличается от 0,5, имеет место
интегральная формула Лапласа:
Здесь — функция Лапласа, значения которой определяются из таблиц.
Для вычислений используются свойства функции Лапласа
При t=3,5 , и так как - монотонно возрастающая функция, в
практических расчетах при можно принимать .
Задача. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того, что
число очков, кратное 3, выпадает не менее 280 и не более 294 раз?
Здесь
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
