Лекции по Линейной алгебре .

Абстрактная теория групп

(продолжение)
9 Гомоморфизм.
Гомоморфизм групп - это естественное обобщение понятия
изоморфизма.
Определение.
Отображение групп называется гомоморфизмом, если оно сохраняет
алгебраическую операцию, то есть : .
Таким образом, обобщение состоит в том, что вместо взаимно однозначных
отображений, которые участвуют в определении изоморфизма, здесь допускаются
любые отображения.
Примеры.
1. Разумеется, всякий изоморфизм является гомоморфизмом.
2. Тривиальное отображение является гомоморфизмом.
3. Если - любая подгруппа, то отображение вложения будет
инъективным гомоморфизмом.
4. Пусть - нормальная подгруппа. Отображение группы G на
факторгруппу G/H будет гомоморфизмом поскольку . Этот сюръективный
гомоморфизм называется естественным.
5. По теореме С предыдущего раздела отображение сопряжения сохраняет
операцию и, следовательно является гомоморфизмом.
6. Отображение , которое каждому перемещению n-
мерного пространства ставит в соответствие ортогональный оператор
(см. лекцию №3) является гомоморфизмом поскольку по теореме 4 той же
лекции .
Теорема (свойства гомоморфизма)
Пусть - гомоморфизм групп, и - подгруппы. Тогда:
1. , .
2. - подгруппа.
3. -подгруппа, причем нормальная, если таковой была .
Доказательство.
1. и по признаку нейтрального элемента . Теперь имеем: .
2. Пусть p = ((h) , q = ((k) . Тогда и . По признаку подгруппы
получаем 2.
3. Пусть то есть элементы p = ((h) , q = ((k) входят в . Тогда
то есть . Пусть теперь подгруппа нормальна и - любой
элемент. и потому .
Определение.
Нормальная подгруппа называется ядром гомоморфизма .Образ этого
гомоморфизма обозначается .
Теорема.
Гомоморфизм ( инъективен тогда и только тогда, когда
Доказательство.
Поскольку , указанное условие необходимо. С другой стороны, если
, то и если ядро тривиально, и отображение инъективно.
Понятие гомоморфизма тесно связано с понятием факторгруппы.
Теорема о гомоморфизме.
Любой гомоморфизм можно представить как композицию естественного
(сюръективного) гомоморфизма , изоморфизма и (инъективного)
гомоморфизма (вложения подгруппы в группу): .
Доказательство.
Гомоморфизмы p и i описаны выше (см. примеры) Построим изоморфизм (. Пусть
. Элементами факторгруппы являются смежные классы Hg . Все
элементы имеют одинаковые образы при отображении ( : . Поэтому
формула определяет однозначное отображение . Проверим сохранение
операции .Поскольку отображение ( очевидно сюръективно, остается
проверить его инъективность. Если , то и потому .
Следовательно, и по предыдущей теореме ( инъективно.
Пусть - любой элемент. Имеем : . Следовательно, .
10 Циклические группы.
Пусть G произвольная группа и - любой ее элемент. Если
некоторая подгруппа содержит g , то она содержит и все степени .
С другой стороны, множество очевидно является подгруппой G .
Определение.
Подгруппа Z(g) называется циклической подгруппой G с образующим элементом
g. Если G = Z(g) , то и вся группа G называется циклической.
Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является
наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g.
Примеры
1. Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с
образующим элементом 1.
2. Группа поворотов плоскости на углы кратные (((n является
циклической с образующим элементом - поворотом на угол (((n. Здесь n
= 1, 2, ...
Теорема о структуре циклических групп.
Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Циклическая группа
порядка n изоморфна Z / nZ .
Доказательство.
Пусть G = Z(g) - циклическая группа. По определению, отображение -
сюръективно. По свойству степеней и потому ( - гомоморфизм. По
теореме о гомоморфизме . H = Ker((Z. Если H - тривиальная подгруппа,
то . Если H нетривиальна, то она содержит положительные числа. Пусть n
- наименьшее положительное число входящее в H. Тогда nZ(H. Предположим, что
в H есть и другие элементы то есть целые числа не делящееся на n нацело и k
одно из них. Разделим k на n с остатком: k = qn +r , где 0 < r < n. Тогда r
= k - qn ( H , что противоречит выбору n. Следовательно, nZ = H и теорема
доказана.
Отметим, что ( Z / nZ .
Замечание.
В процессе доказательства было установлено, что каждая подгруппа группы Z
имеет вид nZ , где n = 0 ,1 , 2 ,...
Определение.
Порядком элемента называется порядок соответствующей циклической
подгруппы Z( g ) .
Таким образом, если порядок g бесконечен, то все степени - различные
элементы группы G. Если же этот порядок равен n, то элементы различны
и исчерпывают все элементы из Z( g ), а N кратно n . Из теоремы
Лагранжа вытекает, что порядок элемента является делителем порядка группы.
Отсюда следует, что для всякого элемента g конечной группы G порядка n
имеет место равенство .
Следствие.
Если G - группа простого порядка p, то - циклическая группа.
В самом деле, пусть - любой элемент отличный от нейтрального. Тогда
его порядок больше 1 и является делителем p, следовательно он равен p. Но в
таком случае G = Z( g )(.

Теорема о подгруппах конечной циклической группы.
Пусть G - циклическая группа порядка n и m - некоторый делитель n.
Существует и притом только одна подгруппа H(G порядка m. Эта подгруппа
циклична.
Доказательство.
По предыдущей теореме G(Z / nZ. Естественный гомоморфизм
устанавливает взаимно однозначное соответствие между подгруппами H(G и теми
подгруппами K(Z , которые содержат Ker( = nZ . Но, как отмечалось выше,
всякая подгруппа K группы Z имеет вид kZ Если kZ(nZ , то k - делитель n и
((k) - образующая циклической группы H порядка m = n /k. Отсюда и следует
утверждение теоремы.
Верна и обратная теорема: если конечная группа G порядка n обладает тем
свойством, что для всякого делителя m числа n существует и притом ровно
одна подгруппа H порядка m, то G - циклическая группа.
Доказательство.
Будем говорить, что конечная группа G порядка N обладает свойством (Z),
если для всякого делителя m числа N существует и притом только одна
подгруппа H(G порядка m. Нам надо доказать, что всякая группа, обладающая
свойством (Z) циклическая. Установим прежде всего некоторые свойства таких
групп.
Лемма.
Если G обладает свойством (Z), то
Любая подгруппа G нормальна.
Если x и y два элемента такой группы и их порядки взаимно просты, то xy =
yx.
Если H подгруппа порядка m такой группы G порядка N и числа m и N/m взаимно
просты, то H обладает свойством (Z).
Доказательство леммы.
1. Пусть H(G . Для любого подгруппа имеет тот же порядок, что и
H. По свойству (Z) то есть подгруппа H нормальна.
2. Пусть порядок x равен p, а порядок y равен q. По пункту 1) подгруппы
Z(x) и Z(y) нормальны. Значит, Z(x)y = yZ(x) и xZ(y) = Z(y)x и потому для
некоторых ( и ( . Следовательно, . Но, поскольку порядки подгрупп
Z(x) и Z(y) взаимно просты, то . Следовательно, и потому
xy = yx.
Используя свойство (Z) , выберем в G подгруппу K порядка N/m. По 1) эта
подгруппа нормальна, а поскольку порядки H и K взаимно просты, эти
подгруппы пересекаются лишь по нейтральному элементу. Кроме того по 2)
элементы этих подгрупп перестановочны между собой. Всевозможные
произведения hk =kh, где h(H, k(K попарно различны, так как =e
поскольку это единственный общий элемент этих подгрупп. Количество таких
произведений равно m N/m = и, следовательно, они исчерпывают все
элементы G. Сюръективное отображение является гомоморфизмом с
ядром K. Пусть теперь число s является делителем m. Выберем в G подгруппу S
порядка s. Поскольку s и N/m взаимно просты, и потому -
подгруппа порядка s. Если бы подгрупп порядка s в H было несколько, то
поскольку все они были бы и подгруппами G условие (Z) для G было бы
нарушено. Тем самым мы проверили выполнение условия (S) для подгруппы H.
Доказательство теоремы.
Пусть - разложение числа N в произведение простых чисел. Проведем
индукцию по k. Пусть сначала k = 1, то есть . Выберем в G элемент x
максимального порядка . Пусть y любой другой элемент этой группы. Его
порядок равен , где u ( s. Группы и имеют одинаковые
порядки и по свойству (Z) они совпадают. Поэтому и мы доказали, что x
- образующий элемент циклической группы G. Пусть теорема уже доказана для
всех меньших значений k. Представим N в виде произведения двух взаимно
простых множителей N = pq (например, ) . Пусть H и K подгруппы G
порядка p и q. Использую 3) и предположение индукции , мы можем считать,
что H = Z(x), K = Z(y), причем xy = yx . Элемент xy имеет порядок pq = N и,
следовательно, является образующим элементом циклической группы G.
11. Некоторые теоремы о подгруппах конечных групп.
Теорема Коши.
Если порядок конечной группы делится на простое число p, то в ней имеется
элемент порядка p.
Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, отметим, что если g(e
и , где p - простое число, то порядок g равен p. В самом деле, если m
- порядок g, то p делится на m, откуда m=1 или m=p. Первое из этих равенств
невозможно по условиям выбора g.
Индукция , с помощью которой проводится доказательство теоремы, основана на
следующей лемме
Лемма.
Если некоторая факторгруппа G/H конечной группы G имеет элемент порядка p,
то тем же свойством обладает и сама группа G.
Доказательство леммы.
Пусть - элемент порядка p. Обозначим через m порядок элемента .
Тогда и значит m делится на p. Но тогда - элемент порядка p.
Доказательство теоремы Коши.
Зафиксируем простое число p и будем проводить индукцию по порядку n группы
G. Если n=p, то G(Z/pZ и теорема верна. Пусть теорема уже доказана для всех
групп порядка меньше n и , причем n делится на p.

Рассмотрим последовательно несколько случаев
G содержит собственную ( то есть не совпадающую со всей группой и
нетривиальную) подгруппу H , порядок которой делится на p. В этом случае
порядок H меньше n и по предположению индукции имеется элемент
порядка p. Поскольку в этом случае теорема доказана.
1. G содержит собственную нормальную подгруппу. Если ее порядок делится на
p, то по 1 теорема доказана. В противном случае на p делится порядок
факторгруппы G/H и теорема в этом случае следует из доказанной выше
леммы.
2. Если G - коммутативна, то возьмем любой . Если порядок g делится на
p, то теорема доказана по 1, поскольку Z(g)(G. Если это не так, то ,
поскольку в коммутативной группе все подгруппы нормальны, теорема
доказана по 2.
3. Остается рассмотреть случай, когда порядки всех собственных подгрупп G
не делятся на p, группа G проста ( то есть не имеет собственных
нормальных подгрупп ) и не коммутативна. Покажем, что этого быть не
может. Поскольку центр группы G является нормальной подгруппой и не может
совпадать со всей группой, он тривиален. Поэтому G можно рассматривать
как группу преобразований сопряжения на множестве G. Рассмотрим разбиение
множества G на классы сопряженных элементов: . Здесь отдельно
выделен класс и классы неединичных элементов. Стабилизатор St(g)
элемента g( e представляет собой подгруппу группы G, не совпадающую со
всей группой. В самом деле, если St(g) = G, то g коммутирует со всеми
элементами из G и потому g(Z(g) = {e}. Значит, порядок этой подгруппы не
делится на p, а потому делится на p: . Но тогда - не
делится на p, что не соответствует условию.
Замечание.
Если число p не является простым, то теорема неверна даже для коммутативных
групп. Например, группа порядка 4 коммутативна, но не является
циклической, а потому не имеет элементов порядка 4.
Теорема о подгруппах коммутативной группы.
Для конечной коммутативной группы G справедлива теорема обратная к теореме
Лагранжа : если m - делитель порядка группы, то в G имеется подгруппа
порядка m.
Доказательство.
Проведем индукцию по порядку n группы G. Для n = 2 теорема очевидна. Пусть
для всех коммутативных групп порядка < n теорема доказана. Пусть простое p
делит m . По теореме Коши в G имеется циклическая подгруппа S порядка p.
Так как G коммутативна, S - нормальная подгруппа. В факторгруппе G/S
используя предположение индукции выберем подгруппу K порядка m/p .Если
естественный гомоморфизм, то - подгруппа G порядка m .

Замечание.
Для некоммутативных групп данная теорема неверна. Так, например, в группе
четных перестановок степени 4, которая имеет порядок 12, нет подгрупп
шестого порядка.
1.

1 2 3