Лекции по Линейной алгебре .

Абстрактная теория групп

(продолжение)

6. Реализация абстрактной группы как группы преобразований.
Существует несколько способов связать с данной абстрактной группой
некоторую группу преобразований. В дальнейшем, если не оговорено противное,
знак алгебраической операции в абстрактной группе будет опускаться.
Пусть некоторая подгруппа.
А) Для каждого определим отображение (левый сдвиг на элемент h)
формулой .
Теорема 1
1.
2. Множество L(H,G)= является группой преобразований множества G.
3. Соответствие: является изоморфизмом групп H и L(H,G).
Доказательство.
1. Надо проверить, что отображение взаимно однозначно для всякого
. Если , то по закону сокращения. Значит
инъективно. Если любой элемент, то и так что к
тому же и сюръективно.
2. Обозначим через ( операцию композиции в группе Sym(G) взаимно
однозначных отображений . Надо проверить, что и . Пусть
любой элемент. Имеем: ; и значит,
.
3. Пусть . Надо проверить, что l взаимно однозначно и сохраняет
операцию. По построению l сюръективно. Инъективность вытекает из закона
правого сокращения: . Сохранение операции фактически уже было
установлено выше: .
Следствие.
Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого
множества (Достаточно взять G=H и рассмотреть левые сдвиги).
Для случая конечных групп получается теорема Кэли:
Любая группа из n элементов изоморфна подгруппе группы подстановок
степени n.
B) Для каждого определим отображение (правый сдвиг на элемент h)
формулой .
Теорема B.
1. .
2. Множество является группой преобразований множества G.
3. Соответствие является изоморфизмом групп H и R(H,G).
Доказательство теоремы B вполне аналогично доказательству теоремы A.
Отметим только, что . Именно поэтому в пункте 3 теоремы В появляется
не , а .
С) Для каждого определим (сопряжение или трансформация элементом
h ) формулой .
Теорема С.
1. Каждое отображение является изоморфизмом группы G с собой
(автоморфизмом группы G).
2. Множество является группой преобразований множества G.
3. Отображение сюръективно и сохраняет операцию.
Доказательство.
1. Поскольку , отображение взаимно однозначно как композиция
двух отображений такого типа. Имеем: и потому сохраняет
операцию.
2. Надо проверить, что и . Оба равенства проверяются без труда.
3. Сюръективность отображения имеет место по определению. Сохранение
операции уже было проверено в пункте 2.
Замечание об инъективности отображения (.
В общем случае отображение ( не является инъективным. Например, если группа
H коммутативна, все преобразования будут тождественными и группа
тривиальна. Равенство означает, что или
(1) В связи с этим удобно ввести следующее
определение: множество называется централизатором подгруппы .
Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1)
означает, что . Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы H в
G тривиален, отображение ( является изоморфизмом.
7. Смежные классы; классы сопряженных элементов.
Пусть, как и выше, некоторая подгруппа. Реализуем H как
группу L(H,G) левых сдвигов на группе G. Орбита называется левым
смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые
сдвиги, приходим к правым смежным классам .Заметим, что
стабилизатор St(g, L(H,G)) (как и St(g, R(H,G)) ) тривиален поскольку
состоит из таких элементов , что hg=g. Поэтому, если группа H
конечна, то все левые и все правые смежные классы состоят из одинакового
числа элементов, равного .
Орбиты группы называются классами сопряженных элементов группы G
относительно подгруппы H и обозначаются Если G=H, говорят просто о
классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут
состоять из разного числа элементов . Это число равно , где Z(H,g)
подгруппа H , состоящая из всех элементов h перестановочных с g.
Пример.
Пусть - группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы:
=(1,2,3); =(1,3,2); =(2,1,3); =(2,3,1); =(3,1,2);
=(3,2,1). Пусть . Легко проверить, что левые смежные классы суть:
, , .
Правые смежные классы:
, , .
Все эти классы состоят из 2 элементов.
Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H:
, , , .
В то же время,
, , .
Теорема Лагранжа.
Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем
порядка G.
Доказательство.
По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся
смежных классов: . Поскольку все смежные классы состоят из одинакового
числа элементов, , откуда и вытекает теорема.
Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом
подгруппы .
Следствие.
Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются
только по нейтральному элементу.
В самом деле, если эти подгруппы, то их общая подгруппа и по
теореме Лагранжа - общий делитель порядков H и K то есть 1.
8. Нормальные подгруппы. Факторгруппы.
Пусть любая подгруппа и -любой элемент. Тогда
также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение
сопряжения является изоморфизмом. Подгруппа называется
сопряженной по отношению к подгруппе H.
Определение.
Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все
сопряженные подгруппы совпадают с ней самой: .
Равенство можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа
инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные
классы по этой подгруппе совпадают.
Примеры.
В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение
сопряжения в такой группе тождественно.
В любой группе G нормальными будут , во первых, тривиальная подгруппа
и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G
называется простой.
1. В рассмотренной выше группе подгруппа не является нормальной
так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H
будут подгруппы и .
2. Если - любая подгруппа, то ее централизатор Z = Z(H,G) - нормальная
подгруппа в G , так как для всех ее элементов z . В частности, центр
Z(G) любой группы G -нормальная подгруппа.
3. Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса :
H и Hg = G-H = gH.
Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).
Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений
элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет
одним из смежных классов, то есть .
Доказательство.
Очевидно, что для любой подгруппы H .Но тогда
= = = .
1. Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена
алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция
ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G.
Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс .
Поскольку , всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает,
что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных
классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется
факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу
подгруппы H в G.

1 2 3