Сборник Лекций по матану .


                         §12. Определенный интеграл

      Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем  считать  функцию
непрерывной,  хотя  это  не  обязательно.  Выберем   на   промежутке   [a;b]
произвольные числа x1, x2, x3, (, xn-1, удовлетворяющие условию:

 a< x1,< x2<(< xn-1,b, как изображено  на  рисунке 4.  В  этом  случае  верны
равенства


                                   .


           §13. Определенный интеграл как функция верхнего предела

      Пусть функция f(t) определена и непрерывна  на  некотором  промежутке,
содержащем точку  a.  Тогда  каждому  числу  x  из  этого  промежутка  можно
поставить в соответствие число

      ,


определив  тем  самым  на  промежутке  функцию  I(x),   которая   называется
определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в  точке
x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в  точке  x.
Для этого сначала рассмотрим приращение функции в  точке  x  при  приращении
аргумента (x:

                         (I(x) = I(x + (x) – I(x) =


                                    


                                   .

Как показано на рисунке 1,  величина  последнего  интеграла  в  формуле  для
приращения  (I(x)   равна   площади   криволинейной   трапеции,   отмеченной
штриховкой. При малых величинах (x (здесь, так же как и везде в этом  курсе,
говоря о малых величинах приращений аргумента  или  функции,  имеем  в  виду
абсолютные величины  приращений,  так  как  сами  приращения  могут  быть  и
положительными и  отрицательными)  эта  площадь  оказывается  приблизительно
равной площади прямоугольника, отмеченного на  рисунке  двойной  штриховкой.
Площадь  прямоугольника  определяется  формулой  f(x)(x.   Отсюда   получаем
соотношение

      .

В последнем  приближенном  равенстве  точность  приближения  тем  выше,  чем
меньше величина (x.
      Из сказанного следует формула для производной функции I(x):

      .

      Производная определенного интеграла по  верхнему  пределу  в  точке  x
равна значению подынтегральной  функции  в  точке  x.  Отсюда  следует,  что
функция    является  первообразной  для  функции  f(x),  причем   такой
первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное  нулю.  Этот
факт дает возможность представить определенный интеграл в виде

      .     (1)


Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x),  тогда  по  теореме
об общем виде всех первообразных функции I(x) = F(x) + C, где C —  некоторое
число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид

      I(x) – I(a) = F(x) + C – (F(a) +C) = F(x) – F(a).  (2)

      Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления
определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:

      ,

которая  называется  формулой   Ньютона-Лейбница.   Здесь   F(x)   —   любая
первообразная функции f(x).
      Для того, чтобы вычислить определенный интеграл  от  функции  f(x)  по
промежутку [a;b], нужно найти какую-либо первообразную F(x) функции  f(x)  и
подсчитать разность значений первообразной в точках b  и  a.  Разность  этих
значений первообразной принято обозначать символом .
      Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью  формулы
Ньютона-Лейбница.
      Примеры. 1. .
      2. .
Сначала вычислим неопределенный интеграл от  функции  f(x) = xex.  Используя
метод интегрирования по частям, получаем: .  В  качестве  первообразной
функции  f(x)   выберем  функцию  ex(x – 1)  и  применим  формулу   Ньютона-
Лейбница:
                           I = ex(x – 1) = 1.
      При вычислении определенных интегралов можно применять формулу  замены
переменной в определенном интеграле:

      .

Здесь ( и ( определяются, соответственно, из  уравнений  ((() = a; ((() = b,
а функции f, (, (( должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.
      Пример:.
Сделаем замену: ln x = t или x = et, тогда если  x = 1,  то  t = 0,  а  если
x = e, то t = 1. В результате получим:


      .


      При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к
исходной переменной интегрирования.


            §14. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

      Если положить промежуток интегрирования  бесконечным,  то  приведенное
выше определение определенного интеграла теряет смысл, например, потому  что
невозможно осуществить условия n((; ((0  для  бесконечного  промежутка.  Для
такого интеграла требуется специальное определение.
      Пусть функция y = f(x)  определена  и  непрерывна  на  полубесконечном
промежутке [a;(), тогда  несобственным  интегралом  с  бесконечным  пределом
  называется  ,  если  предел  существует.  Если  этот  предел  не
существует, то  не  существует  и  несобственный  интеграл.  В  этом  случае
принято говорить, что несобственный интеграл расходится.  При  существовании
предела говорят, что несобственный интеграл сходится.
      Аналогично
                                и .
      Примеры: 1. . Очевидно: , откуда следует
                                   .
      2. ; этот предел не существует, следовательно, не существует  или
расходится интеграл I.
      3. ; здесь предел также не существует, и интеграл расходится.

                                 Упражнения


      1. Найти производные от следующих функций:

|1)  |;                            |2)  |;                   |
|3)  |;                            |3)  |;                   |
|5)  |;                            |6)  |;                   |
|7)  |;                            |8)  |;                   |
|9)  |;                            |10) | ;                  |
|11) |где x = 1;                   |12) |;                   |
|13) | где t = ( / 6;              |14) |                    |
|15) |;                            |16) |.                   |
1 2 3 4 5