Сборник Лекций по матану .


                        §9. Неопределенный интеграл.

      Функция F(x) называется первообразной для функции f(x)  на  промежутке
(a;b), если для всех x((a;b) выполняется равенство F((x) = f(x).
      Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3.
      Если  для  F(x)  установлено  равенство  dF(x) = f(x)dx,  то  F(x)   (
первообразная для f(x), так как .
      Рассмотрим две теоремы, которые называются  теоремами  об  общем  виде
всех первообразных данной функции.

      Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b),  то  F(x) + C,
где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b).
      Доказательство.

      (F + C)( = F( + C( = f + 0 =  f

По определению F + C  ( первообразная для f.
      Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.
      Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g((x) = 0.
      Доказательство.
      Так как g(x) = C, справедливы равенства: g((x) = C( = 0 (здесь, как  и
ниже, через C обозначено произвольно выбранное число).
      Если g((x) = 0 при всех x((a;b), то g(x) = C на (a;b).
      Доказательство.
      Пусть g((x) = 0 во всех  точках  (a;b).  Зафиксируем  точку  x1((a;b).
Тогда для любой точки x((a;b) по формуле Лагранжа имеем

      g(x) – g(x1) = g((()(x – x1)

Так как (((x;  x1),  а  точки  x  и  x1  принадлежат  промежутку  (a;b),  то
g((() = 0, откуда следует, что g(x) – g(x1)=0, то есть g(x) = g(x1)=const.
      Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке  (a;b),
а G(x) – другая первообразная для f(x) на  (a;b),  то  G = F + C,  где  C  –
число.
      Доказательство.
      Возьмем производную от разности G – F: (G – F)( = G( – F( =

= f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C ( число, то есть G = F + C.
      Множество всех первообразных для  функции  f(x)  на  промежутке  (a;b)
называется неопределенным интегралом и обозначается  (f(x)dx.  Если  F(x)  –
первообразная для f(x), то (f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число.
      Вычисление неопределенного интеграла от  заданной  функции  называется
интегрированием.
      Из определения неопределенного интеграла следует, что  каждой  формуле
дифференциального    исчисления    F((x) = f(x)    соответствует     формула
(f(x) dx = F(x) + C  интегрального  исчисления.  Отсюда  получается  таблица
неопределенных интегралов:

|1) ( dx = x + C;                 | 7) ( cosx dx = sinx + C;        |
|2) ( x(dx=(((1);            | 8) ;                       |
|3) ;                        | 9) ;                       |
|4) ( exdx =ex+C;                 |10)                         |
|5) ( axdx =axlogae+C   (((1) ;   |11)                         |
|6) ( sinx dx=-cosx + C;          |12) .                       |

      Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

|1) ( (f(x) dx )(=f(x);  |4) (d f(x)=f(x)+C ;                |
|2) (f( (x) dx= f(x)+C ; |5) (kf(x)dx=k(f(x) dx;             |
|3) d (f(x) dx= f(x)dx;  |6) ((f(x)+g(x))dx=( f(x) dx+(g(x)  |
|                        |dx ;                               |
|Если (f(x) dx = F(x) + C, то (f(ax+b) dx =              |
|(a ( 0).                                                     |


      Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

              §10. Замена переменной в неопределенном интеграле

      Если  функция  f(x)  непрерывна,  а  функция  ((t)  имеет  непрерывную
производную (((t), то имеет место формула

      ( f(((t))(((t) dt = ( f(x) dx,  где x = ((t).

      Можно привести примеры вычисления  интеграла  с  помощью  перехода  от
левой части к правой в этой формуле,  а  можно  привести  примеры  обратного
перехода.
      Примеры. 1. I = ( cos(t3) t2 dt.  Пусть t3 = x, тогда  dx = 3t2dt  или
t2dt = dx/3.

      .

      2. . Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t.

                                    

      3. . Пусть x = cos t, тогда dx = - sint dt, и

                                   .

      4. . Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и

      .


                    §11. Формула интегрирования по частям

      Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке  функции.
Тогда

      (uv)( = u(v + v(u

Отсюда следует

      ( (uv)(dx = ( (u(v + v(u )dx = ( u(v dx + ( v(u dx

или

      ( uv( dx = uv – ( u(v dx .

Отсюда  следует  формула,  которая  называется  формулой  интегрирования  по
частям:

      ( u(x)dv(x) = u(x) v(x) – ( v(x)du(x)

      Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям.

      Примеры. 1. I = ( x cosx dx. Пусть u = x; dv = cosx dx, тогда du = dx;
v = sinx. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается:


      I = x sinx – ( sinx dx = x sinx + cosx + C.


      2. I = ( (x2 – 3x + 2) e5xdx. Пусть x2 – 3x + 2 = u; e5xdx = dv. Тогда

du = (2x – 3) dx; .


      .

К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая 2x -
 3 = u;  e5xdx = dv.  Отсюда  следует:  du = 2dx;  ,   и   окончательно
получаем:

      


      .


      3. ;


                                   ;


      


      


      .

      В  заключение  покажем  метод  вычисления  неопределенного  интеграла,
стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:

                                   .

Представим  дробь    в  виде  суммы  двух  дробей:    и  ,  и
попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из  равенства  
получим систему уравнений

      

с решением . Отсюда следует:

                                   .

Полученный интеграл в обиходе обычно называют “высоким  логарифмом”.  Метод,
которым он был найден, называется  методом  “неопределенных  коэффициентов”.
Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей  с  числителем  и
знаменателем в виде многочленов.
1 2 3 4 5