На
Главную
ГДЗ:
Английский
язык Алгебра Геометрия Физика Химия Русский
язык Немецкий
язык
Подготовка к экзаменам (ЕГЭ) Программы и пособия Краткое содержание Онлайн учебники
Шпаргалки Рефераты Сочинения Энциклопедии Топики с переводами
Все темы:"Рефераты по Математике"
Математический анализ .
§ 4. Неопределенный интеграл
К понятию неопределенного интеграла приводит задача о нахождении
функции по ее производной. Эта задача решается с помощью операции
интегрирования, обратной по отношению к операции дифференцирования.
1. Определение интеграла и правила интегрирования
Пусть для всех , принадлежащих интервалу , выполнено
равенство
,
тогда функция называется первообразной функции на .
Заметим, что первообразная функции определяется не
однозначно: вместе с первообразными являются функции вида ,
где – произвольная постоянная. Справедливо утверждение: любая
первообразная функции представима в виде при некотором значении
.
Совокупность всех первообразных функции называется ее
неопределенным интегралом и обозначается символом :
;
при этом называется подынтегральной функцией, а -
переменной интегрирования. Операция нахождения интеграла называется
интегрированием.
Пример. а) Из равенства заключаем, что функция
является первообразной функции . Следовательно, можно записать
.
б) Аналогично, из равенства следует
.
В отличие от производной интеграл элементарной функции может не
быть элементарной функцией. Это относится, например, к интегралам от
, , . Однако интегралы всех основных элементарных
функций выражаются через элементарные функции. Приведем таблицу
некоторых из них, получаемую из таблицы производных, и правила, по
которым можно находить интегралы других функций.
Таблица интегралов
1) (); 2) ;
3) ; 4) .
Правила интегрирования
1) ;
2) , где ( - постоянная
Отметим, что приведенные правила аналогичны соответствующим правилам
дифференцирования.
Примеры. Найдем интегралы, применяя указанные правила и таблицу:
а) ;
б) ;
в) .
2. Замена переменной в неопределенном интеграле
В некоторых случаях нахождение интеграла упрощается при переходе
к другой переменной интегрирования. При этом если исходная и новая
переменные и связаны соотношением , где -
обратимая дифференцируемая функция, то для интегралов справедливо
равенство
,
в правой части которого после вычисления интеграла следует сделать
обратную замену .
В частности, используя замену (или ), получаем
формулу
,
позволяющую обобщить табличные интегралы. Например:
(),
,
,
где и - произвольные постоянные, .
Примеры. Найдем интегралы, применяя полученные формулы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) интеграл найдем, сделав замену , . Тогда
,
где использован результат примера в);
д) .
Упражнения
1. Найти интегралы:
1) ;
;
2) ;
3) ;
;
;
;
;
;
.
2. Найти интегралы:
1) ;
;
2) ;
;
;
;
;
;
;
3) ;
4) ;
5) ;
;
;
;
;
;
.
Ответы
1.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) .
2.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) .
1 2 3 4 5 6 7