Теория устойчивости .

Введение

      Одной из основных задач теории автоматического регулирования  является
изучение динамических процессов,  происходящих  в  автоматических  системах.
Автоматические  системы  при  нормальной  эксплуатации  должны  поддерживать
определенный режим работы объекта регулирования при действии на него  многих
возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в  системах
автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к  этим
воздействиям. Устойчивость системы означает, что  малое  изменение  входного
сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий  или  параметров  не
приведут  к  значительным  отконениям  выходного  сигнала.  Это  определение
раскрывает физический смысл понятия устойчивости.
      Теория  устойчивости,  основоположниками  которой   являются   великий
русский  ученый  А.М.  Ляпунов  и  великий  французский  ученый  А.Пуанкаре,
представляет  собой  важный  раздел   прикладной   математики.   Создателями
современной теории устойчивости являются русские ученые  Н.Г.  Четаев,  Е.А.
Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.



1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости  и  неустойчивости  по
Ляпунову.
      Рассмотрим  задачу  Коши  для  нормальной   системы   дифференциальных
уравнений

                              x’ = f ( t ,  x )



                                              (1)

с     начальными     условиями             x     (     t0     )     =     x0
                          (2)
где   x  =  ( x1, x2, ... , xn ) -     n - мерный вектор; t (   I =  [t0,  +
(   [  - независимая переменная, по которой производится дифференцирование;

f ( t, x ) = ( f1 ( t , x ) , f2 ( t , x ) , ... , fn ( t , x  )  )  -  n  -
мерная вектор - функция.
        Комментарии к задаче  Коши  (1),  (2). Для простоты  восприятия  эту
задачу  можно  сначала   трактовать   как   задачу   Коши   для   скалярного
дифференциального уравнения первого порядка вида    x’=  f  (  t  ,  x  )  с
начальным условием  x ( t0 ) = x0. С целью  упрощения   все  рисунки  п.  10
,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.

          x



        0                                                     t
                               Рис.1
      Так как задача теории устойчивости впервые  возникла  в  механике,  то
переменную t принято интерпретировать как время,  а  искомую  вектор-функцию
x ( t ) - как движение точки в зависимости от времени  в  пространстве  Rn+1
(рис.1)
      Пусть  задача  Коши   (1),   (2)    удовлетворяет   условиям   теоремы
существования и единственности. Тогда  через  каждую  точку  (  t0  ,  x0  )
области единственности решений проходит  только  одна  интегральная  кривая.
Если начальные данные (  t0 , x0 )  изменяются,  то  изменяется  и  решение.
Тот факт, что решение зависит от начальных  данных,  обозначается  следующим
образом: x ( t ) =  x ( t ; t0 , x0 ).  Изменение  этого  решения  в  данной
математической модели с изменением начальных данных ( t0 , x0 )  приводят  к
существенному изменению решения    x ( t ; t0 , x0 )   ,  приводит  к  тому,
что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку начальные данные   (  t0  ,
x0 )  получаются из опыта, а изменения  не  могут  быть  абсолютно  точными.
Естественно, что в качестве математической модели пригодна  лишь  та  задача
Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.
      Определим  понятие  устойчивости,   асимптотической   устойчивости   и
неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t )  =   x
( t ; t0 , x0 ) , вызванное отклонением  (   x0  начального  значения  x0  ,
будем записывать следующим образом:
      | x ( t ; t0 , x0 + (  x0 ) - x ( t ) |  = | x ( t ; t0 , x0 + (  x0 )
- x ( t ; t0 , x0 ) |.

      Определение 1.   Решение  x ( t ) =  x ( t ; t0 ,  x0  )  системы  (1)
называется  устойчивым  по  Ляпунову  в   положительном   направлении   (или
устойчивым), если оно непрерывно по  x0  на интервале           I = = [  t0,
+  (   [ , т.е. (   (  > 0  (   (   > 0 такое, что   (   (  x0
      |  (  x0 |  (    (   (     | x ( t ; t0 , x0 + (  x0 ) - x ( t ) |   (
  (        (   t (   t0.
      Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t  (
   +  (    для достаточно малых   (  x0 , т.е. (   (   > 0  (   (  x0.
      |  (  x0 |  (   (     (     | x ( t ; t0 , x0 + (  x0 ) - x (  t  )  |
(    0 , t (     +  (    .           (3)
то решение  x ( t )  системы  (1)  называется  асимптотически  устойчивым  в
положительном направлении (или асимптотически устойчивым).
      Аналогично  определяются  различные  типы   устойчивости   решения   в
отрицательном направлении.
      Комментарий  к  определению   1.   1)  Геометрически  устойчивость  по
Ляпунову решение  х ( t ) можно интерпритировать следующим образом  (  рис.1
) : все решения x ( t ; t0 , x0 + (  x0 ) , близкие в начальный момент t0  к
решению x ( t )  (т.е. начинающиеся в пределах (  - трубки )  ,  не  выходят
за пределы  (   - трубки при всех значениях t (  t0 .

          x



        0                                                     t
                               Рис.2

      2) Асимптотическая устойчивость  есть  устойчивость  с  дополнительным
условием (3) : любое решение x1 ( t ) , начинающееся в момент  t0  в  (    -
трубке, с течением времени неограниченно приближается к  решению  x  (  t  )
(рис.2). Трубка радиуса (   называется областью притяжения решения x ( t  ).
Решение x2 ( t ), начинающееся при t = t0  за пределами области  притяжения,
но в пределах (  - трубки, не покидает   (    -  трубку,  хотя  может  и  не
приближаться к решению x(t).

      Определение 2.   Решение x ( t )  =  x ( t ; t0 , x0  )   системы  (1)
называется  неустойчивып  по  Ляпунову  в  положительном  направлении   (или
неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.
      Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.
      Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по  Ляпунову
означает, что среди решений, близких в начальный момент t0 к решению х  (  t
) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t1 ( свой для  каждого
такого решения) выйдет за пределы  (   - трубки (рис.3).
      Приведем примеры из  механики,  иллюстрирующие  определения  различных
типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.
      Рассмотрим маятник, состоящий из  точечной  массы  m,  укрепленной  на
невесомом  стержне  длиной  l  (рис.4).  Выведем  маятник  из  состояния  I,
отклонив стержень на угол (   ; тогда,  как  известно  из  опыта,  он  будет
стремиться  занять  вновь  положение  I.  Если   пренебречь   сопротивлением
окружающей среды, то  маятник  будет  колебаться  возле  положения  I  сколь
угодно долго с  амплитудой,  равной  начальному  отклонению,  -  это  модель
устойчивого  положения   равновесия.   Если   же   учитывать   сопротивление
окружающей среды, то амплитуда колебаний  маятника  будет  уменьшаться  и  в
итоге он снова займет положение I - это  модель  асимптотически  устойчивого
положения равновесия. Если маятник находится в  положении  II,  то  малейшее
его смещение приведет к удалению маятника от состояния II -  это  модель  не
устойчивого положения равновесия.


          x



        0                                                     t
                               Рис.3
                 Рис.4

      Исследование устойчивости произвольного решения x ( t  )  системы  (1)
всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого  решения  некоторой
преобразованной  системы.   Действительно,   в   системе    (1)   произведем
подстановку y ( t ) = x - x (t). Тогда получим систему
                                                     y’   =  F  (  t,  y  ).
                                  (4)
где  F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) ,  F  (t,
0)  (   0      (   t (   t0.
      Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) (    0
системы (4).
      В  дальнейшем  будем  предполагать,  что  система  (1)  имеет  нулевое
решение, т.е.  f  (  t  ,  0  )  =  0      (    t  (    t0,  и  ограгничимся
исследованием устойчивости  нулевого  решения.  Переформулируем  определения
различных типов устойчивости  для  нулевого  решения     x  (  t  )   (    0
системы (1).

      Определение 3.   Нулевое решение x ( t ) (   0  системы (1) называется
устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если  (
  (   > 0   (   (   = (   (  (  )  > 0 такое, что  (   x0
               |  (  x0 |  (    (   (     | x ( t ; t0 , x0   )  |    (    (
   (   t (   t0.
      Если кроме того,
(    (   > 0        (   x0        |  (  x0 |  (   (     (     | x ( t  ;  t0
, x0  )  |   (    0 , t (     +  (    ,
то решение   x  (  t  )   (    0   системы  (1)   называется  асимптотически
устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ) .
      Определение 4.     Нулевое решение   x ( t  )   (    0   системы   (1)
называется  неустойчивым  по  Ляпунову  в  положительном  направлении   (или
неустойчиво), если оно не является устойчивым в  положительном  направлении,
т.е.
(    (   > 0     (   t1 > t0    (   (  > 0    x0  (   0     |  x0 |  (     (
  (     | x ( t ; t0 , x0  ) |   >   (  .
      Геометрическая     интерпритация     устойчивости,     асимптотической
устойчивости и неустойчивости нулевого решения  x ( t )  (   0  системы  (1)
дана соответственно на рис.5-7.



      x



                                                          t
     0



                                    Рис.5
      x



                                                          t
     0



                                    Рис.6



      x



                                                          t
     0



                                    Рис.7



2.  Устойчивость решения автономной системы.  Устойчивость  решения  системы
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
      Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется  автономной
(или стационарной, или консервативной, или динамической),  если  независимая
переменная не входит явно в систему уравнений.
      Нормальную  автономную  систему  n  -  го  порядка  можно  записать  в
векторной форме :
                           dx     /     dt     =     f      (      x      ).
(5)
      Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями  (2).  В
дальнейшем предполагаем, что задача Коши  (5),  (2)  удовлетворяет  условиям
теоремы существования и единственности.
      Пусть x = x ( t ) - есть решение системы (5). Направленная  кривая   (
, которую можно параметрически задать в виде xi = xi ( t )       (  i  =  1,
... , n  ),  называется  траекторией  (фазовым  графиком)  системы  (5)  или
траекторией решения x = x ( t ). Пространство Rn с координатами ( x1  ,  ...
, xn ), в котором расположены траектории  системы  (5),  называется  фазовым
пространством автономной системы  (5).  Известно,  что  интегральные  кривые
системы (5) можно параметрически задать в виде  t = t , x1 = x1 ( t  ),  ...
,  xn  =  xn  (  t  ).  Следовательно,   интегральная   кривая   принадлежит
пространству Rn+1 с координатами ( t , x1 , x2 , ... , xn ) ,  а  траектория
является проекцией интегральной кривой на пространство  Rn  параллельно  оси
t. Проиллюстрируем это для случая n  = 2 , т.е.  когда  Rn+1   -  трехмерное
пространство, а фазовое пространство Rn  - двумерная плоскость.  На  рис.8,а
изображена интегральная кривая, заданная параметрическими  уравнениями  t  =
t, x1 = x1 ( t ) , x2 = x2 ( t ), на рис.8,б -  ее  проекция  на  плоскость,
т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x1 = x1 ( t ) , x2  =
x2 ( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.

                              x2
x2



            0                                                t
     0               x1



            x1
                       а)                               Рис.8
б)

      Определение 5.  Точка ( a1, a2 , ... , an )  называется  точкой  покоя
(положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f1 , f2  ,
... , fn  системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a)  =  0,  где
a = ( a1 , a2 , ... , an ) , 0 = ( 0 , 0 , ... , 0 ) .
      Если ( a1 , ... , an ) - точка покоя, то система (5) имеет  постоянное
решение x ( t ) = a.  Как  известно,  исследование  устойчивости  любого,  а
значит, и постоянного решения a можно  свести  к  исследованию  устойчивости
нулевого решения.  Поэтому  далее  будем  считать,  что  система  (5)  имеет
нулевое решение x ( t )  (   0 , т.е. f ( 0 )  = 0, и точка покоя  совпадает
с началом координат фазового пространства  Rn.  В  пространстве  Rn+1  точке
покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n  =
2.
      Таким образом, устойчивость  нулевого  решения  системы  (5)  означает
устойчивость  начала  координат  фазового  пространства   системы   (5),   и
наоборот.
      Дадим   геометрическую   интерпретацию   устойчивого,   асимптотически
устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n =  2.  Для  этого
следует  спроектировать  аналоги  рис.5-7  в  двумерном  случае  на  фазовую
плоскость R2, причем проекциями (   -  трубки  и   (    -   трубки  являются
окружности с радиусами  (   и  (   .  Начало  x  =  0  устойчиво,  если  все
траектории, начинающиеся в пределах   (   - окружности, не покидают   (    -
окружность    (   t (   t0 (рис.9)  ;  асимптотически  устойчиво,  если  оно
устойчиво и  все  траектории,  начинающиеся  в  области  притяжения   (    ,
стремятся  к  началу  (рис.10)  ;  неустойчиво,  если  для  любой    (     -
окружности и всех  (   > 0  существует хотя бы одна  траектория,  покидающая
ее (рис.11).
      Нормальная система линейных дифференциальных уравнений  с  постоянными
коэффициентами, имеющая вид
                                  dx      /      dt      =        A       x,
(6)
где  A - постоянная матрица размера n   (   n  ,  является  частным  случаем
системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные  выше
утверждения об автономных системах.

                          x2



                           0                        x1



                         Рис.9

                          x2



                           0                        x1



                        Рис.10


                          x2



                           0                        x1



                         Рис.11



3. Простейшие типы точек покоя.
       Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
         (  dx / dt = P ( x , y ),
         (                                                         (A)
         (  dy / dt = Q ( x , y ).

Точка ( x0 , y0 ) называется точкой покоя или  особой  точкой  системы  (A),
если P ( x0 , y0 ) = 0 , Q ( x0 , y0 ) = 0.
      Рассмотрим систему
         (  dx / dt = a11 x + a12 y,
         (                                                         (7)
         (  dy / dt = a21 x + a22 y.

где  aij ( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 ,  0  )  является  точкой
покоя  системы  (7).  Исследуем  расположение  траектории  системы   (7)   в
окрестности этой точки. Ищем решение в виде
                  x  =   (   1   e  k  t    ,     y  =    (   2  e  k  t   .
            (8)
Для определения k получаем характеристическое уравнение
                       a11 - k         a12
                                             =   0.                     (9)
                       a21        a22 - k

Рассмотрим возможные случаи.
      I.  Корни  характеристического  уравнения  действительны  и  различны.
Подслучаи :
      1) k1 < 0, k2 < 0. Точка покоя  асимптотически  устойчива  (устойчивый
узел).
      2) k1  >  0, k2  > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).
      3) k1  > 0, k2  <  0. Точка покоя неустойчива (седло).
      4) k1  = 0,  k2  >  0. Точка покоя неустойчива.
      5) k1  = 0,  k2 < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.
      II. Корни характеристического уравнения комплексные :           k1 = p
+ q i, k2 = p - q i. Подслучаи :
      1) p < 0 , q  (   0.  Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый
фокус).
      2) p > 0 , q  (   0.  Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).
      3) p = 0, q  (   0.  Точка покоя  устойчива  (центр).  Асимптотической
устойчивости нет.
      III. Корни кратные: k1  = k2 . Подслучаи :
      1) k1 = k2 <  0.  Точка  покоя  асимптотически  устойчива  (устойчивый
узел).
      2) k1 = k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).
      3) k1 = k2 =  0.  Точка  покоя  неустойчива.  Возможен  исключительный
случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.
      Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами
            dxi          n
                 =     (     ai j xj              ( i = 1 , 2 , ...  ,  n  )
            (10)
            dt          i=1

характеристическим уравнением будет
            a11 - k         a12        a13   ...  a1n
             a21         a22  -  k          a23    ...   a2n         =    0.
(11)
            .    .     .    .     .    .     .    .
            an1        an2        an3  ...   ann - k

      1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения
(11) системы (10) отрицательны, то точка покоя xi ( t )  (   0   ( i =  1  ,
2 , ... , n ) асимптотически устойчива.
      2) Если действительная часть хотя бы одного корня  характеристического
уравнения (11) положительна, Re k i = p i > 0, то точка покоя xi (  t  )   (
0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) неустойчива.
      3) Если  характеристическое  уравнение  (11)  имеет  простые  корни  с
нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто  мнимые  корни  ),  то
точка покоя xi ( t )  (   0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10)  устойчива,  но
не асимптотически.
      Для  системы  двух   линейных   линейных   уравнений   с   постоянными
действительными коэфициентами
            .
         (  x  = a11 x + a12 y,
                                        (                                  .
(12)
         (  y  = a21 x + a22 y

характеристическое уравнение (9) приводится к виду
                            k2 + a1 k + a2  = 0.
      1)  Если  a1  >  0  ,  a2  >  0,  то  нулевое  решение  системы   (12)
асимптотически устойчиво.
      2) Если а1 > 0 , a2 = 0, или a1 = 0 , a2  > 0  ,  то  нулевое  решение
устойчиво, но не асимптотически.
      3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво;  однако  при
a1  =  a2  =  0  возможен  исключительный  случай,  когда  нулевое   решение
устойчиво, но не асимптотически.
1 2 3