На
Главную
ГДЗ:
Английский
язык Алгебра Геометрия Физика Химия Русский
язык Немецкий
язык
Подготовка к экзаменам (ЕГЭ) Программы и пособия Краткое содержание Онлайн учебники
Шпаргалки Рефераты Сочинения Энциклопедии Топики с переводами
Все темы:"Рефераты по Физике"
Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла
МГТУ им Н.Э.Баумана
гр. ФН2-41
Котов В.Э.
Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории
Максвелла.
(по материалам лекций Толмачева В.В.)
Постановка задачи
Пусть имеются две диэлектрические среды 1 и 2 , с электрической и
магнитной проницаемостью и соответственно. Из среды 1 в 2
падает плоская монохроматическая волна (границу раздела будем считать
плоской).При переходе через границу раздела волна разделится на две
части : отраженную волну (в среде 1) и преломленную волну (в среде 2)
, необходимо выяснить соотношения между углами и , а также
между интенсивностями падающей и отраженной волн (рис 1).
рис.1
Данная волна должна представлять собой точное решение уравнений
Максвелла : и (1) (учитывая , что среда диэлектрическая
, т.е. )
для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет
(если оси Х направить в сторону распространения волны):
и (==0) (2)
где A и B , и , - постоянные (не зависят от времени и
координаты) ,
и - характеристики среды , в которой распространяется
волна ,
, t - рассматриваемый момент времени
x - рассматриваемая координата на оси Х
V - скорость распространения волны в
данной среде
(естественно , в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких
волн будет также их точным решением )
Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела : и
не терпят разрыва на поверхности раздела , и также не
терпят разрыва , поскольку на границе раздела не течет ток и нет
поверхностной плотности заряда:
(3)
(индексом 1 обозначаем все , относящееся к первой среде , индексом 2 -
ко второй)
Таким образом , необходимо построить точное решение уравнений (1)
, удовлетворяющих условиям (3). Для этого рассмотрим два случая :
случай ТМ -волны (р-волны ) - вектор перпендикулярен плоскости
падения (трансверсальная магнитная) , и случай ТЕ-волны (s-волны)-
вектор перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная
электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть
представлена как линейная комбинация двух таких волн.
Случай ТМ -волны (p - волны)
рис.2
Из рисунка видео , что , запишем условия равенства на
границе раздела :
( учитывая , что волна в среде 1 есть сумма падающей и
отраженной волн)
подставляем значения:
подставляем из (2) :
Аналогично , поскольку получаем для вектора на границе
раздела:
( c учетом (2) )
для выполнения равенств для и потребуем равенства
аргументов косинусов :
потребуем также равенства начальных фаз:
из рисунка видно , что : , (4)
(,и - соответственно : угол падения , угол отражения и
угол преломления ) , тогда имеем :
из равенства аргументов получаем :
(т.к. , )
т.е. получены , как и следовало ожидать , законы отражения и
преломления света
разделим теперь выражения дляи на , получим (c учетом
(4) ) следующую систему :
(5)
здесь неизвестными являются и , а - заданно.
Умножим первое уравнение на а второе на и вычтем из
первого второе , тогда члены с сократятся и получим:
поскольку для неферромагнетиков магнитная проницаемость
незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого
класса сред можно считать , тогда:
.
( разделим числитель и знаменатель на , и учтя , что )
применив закон преломления , получим (6):
из второго уравнения системы (5) получаем для :
(поскольку полагаем ,) , тогда:
(7)
проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые
мы не учли - и . Второе равенство выполняется заведомо ,
поскольку , проверим первое равенство :
из рисунка видно , что , а подставим значения
, и ( из 2) , сократив сразу на , и учитывая (4)
:
(выражая через второе уравнение системы (5) )
Таким образом действительно получено точное решение уравнений (2) ,
удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем следующие формулы
Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7) ):
и
Случай ТЕ -волны ( s - волны)
рис.3
Из рисунка видно , что
Условия (3) для и :
подставляя значения и из (2) получим :
как и в случае ТМ-волны предполагаем равенство аргументов
косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон
отражения и преломления света , сокращая на и с учетом (4)
получим систему :
(8)
умножим первое уравнение на а второе на и вычтем из
первого второе :
поскольку мы полагаем (см. выше) то
(9)
из второго уравнения системы (8) получаем:
(10)
проверим теперь неучтенные условия на границе раздела : и
.
Второе условие выполняется , поскольку , проверим выполнение
равенства : из рисунка видно , что , а подставим
значения , и ( из 2) , сократив сразу на , и
учитывая (4) получим :
подставляем из второго уравнения системы (8) :
таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) ,
удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем
следующие формулы Френеля для отражения и преломления (из (9) и (10))
и
Анализ формул Френеля
Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей
и отраженной ТМ и ТЕ волн и падающей и прошедшей волн в зависимости
от угла падения . Для этого рассмотрим отношение нормальной
составляющей вектора Пойтинга падающей и отраженной ( и
в случае ТМ и ТЕ волн соответственно) и падающей и прошедшей
(
и ) волн. Тогда с из полученных формул Френеля для отражения и
преломления , с учетом (2) будем иметь:
А. Отражение
Исследуем сначала поведение и на границах отрезка :
при (просто положить равным нулю нельзя , потому что будет
неопределенность ):
для случая падения из воздуха в стекло () :
т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить , что
если поменять среды местами - т.е. рассматривать падение из воды в
воздух , то это значение не изменится)
В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более
плотную при:
Действительно, преломленной волны при скользящем падении не
образуется и интенсивность падающей волны не
меняется.
В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее
плотную , необходимо учесть явление полного внутреннего отражения ,
когда прошедшей волны нет - вся волна отражается от поверхности
раздела. Это происходит при значениях больших , чем ,
вычисляемого следующим образом:
[1]
Для падения из стекла в воздух
Здесь не рассматривается полное внутреннее отражение , поэтому в
случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее
плотную изменяется до , в этом случае:
Далее исследуем поведение этих функций между крайними точками , для
этого исследуем на монотонность функции: и
Нам понадобится производная , найдем ее как производную функции ,
заданной неявно :
Знак этой производной ( поскольку , ) зависит только
от знака выражения , это выражение > 0 , когда (то есть
падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и
<0 , когда (из более оптически плотной в менее оптически
плотную ) , следовательно в первом случае монотонно
возрастает, а во втором , убывает . Но в случае ,
следовательно по модулю это выражение будет возрастать , в
случае оно также будет по модулю возрастать . Таким образом
, , как квадрат этого выражения , в обоих случаях монотонно
возрастает от при до 1 при .или.
Знак этой производной ,( поскольку ,
есть >0 при и <0 при .
Знак функции меняется следующим образом :
при если невелико>0 , но эта функция проходит через
нуль. Поскольку числитель , при рассматриваемых пределах изменения
в 0 обращаться не может[2] это происходит тогда , когда
знаменатель обращается в бесконечность т.е.:
Это есть угол Брюстера () , при котором обращается в 0 , то
есть отраженная волна отсутствует . Для случая падения из воздуха в
стекло , для обратного случая (из стекла в воздух) При
переходе через этот угол меняет знак на минус , следовательно
как квадрат этой функции сначала убывает (до нуля) , а затем
возрастает (до 1).
При для небольших<0 , при переходе через знак
будет меняться на плюс. Переход через действительно будет иметь
место , хотя изменяется до ,а не до , поскольку
. Таким образом снова монотонно убывает до 0 , а затем
монотонно возрастает до 1.
Итак , в обоих случаях сначала монотонно убывает от при
до 0 при , а затем монотонно возрастает до 1 при или
.
Полученные зависимости иллюстрируются следующими графиками :
на первом показана зависимость (сплошная линия) и (пунктирная
линия) от для случая падения волны из воздуха в стекло (n=1.51)
на втором -для случая падения волны из стекла в воздух
В. Преломление
Для анализа поведения и воспользуемся следующим
соображением - падающая волна на границе раздела разделяется на две -
прошедшую и отраженную , причем энергия падающей волны (энергия ,
переносимая волной через границу раздела сред) уходит в энергию
отраженной и преломленной волн (поскольку никаких других источников
нет). Поэтому , поскольку коэффициент показывает отношение
энергии прошедшей волны к энергии падающей , - отношение энергии
отраженной волны к энергии падающей в p-волне , а и -
аналогичные отношения в s-волне , должны выполнятся соотношения :
и
Действительно , проверим это :
рассмотрим отдельно числитель:
таким образом действительно , аналогично
Таким образом , используя предыдущее исследование , можно
сказать , что :
Для случая падения из воздуха в стекло (а можно заметить , что если
среды поменять местами , то это значение не изменится )
Между этими точками и ведут себя противоположно и
.
Окончательно , монотонно возрастает от ( )до ,
а затем монотонно убывает до 0 ( при ) , монотонно убывает
от до 0 (при тех же пределах изменения). Причем как для
случая падения из менее оптически плотной среды , так и из более
оптически плотной. Ниже на рисунке представлены графически зависимости
для обоих этих случаев.
С. Набег фаз при отражении и преломлении
Из формул Френеля следует , что отношения ,,и
могут в принципе получится и отрицательными . Поскольку амплитуда есть
существенно положительная величина , в этом случае имеет место сдвиг
фазы волны на . Далее выясним , когда такой сдвиг имеет место.
В случае отраженной p-волны , как установлено в п. А , эта
функция
при n>1 больше 0 при и меньше 0 при , при n<0 промежутки
знакопостоянства меняются местами . Таким образом , в случае падения из
менее оптически плотной среды в более плотную сдвиг фаз на в
отраженной p-волне наблюдается при , а в случае падения из более
плотной в менее плотную - при.
В случае отраженной s-волны , эта функция меньше 0 при и
больше 0 в противном случае. Таким образом , сдвиг фаз на в
отраженной s-волне наблюдается при падении из менее оптически плотной
среды в более плотную , и не наблюдается при падении из более плотной
среды в менее плотную.
В случае произвольно падающей линейно поляризованной волны , которая
представляется в виде суммы p и s-волн , в отраженной волне , таким
образом , можно получить , в общем случае волну произвольной
(эллиптической) поляризации .
Для исследования сдвига фаз в прошедшей волне , воспользуемся
соотношениями , возникшими как промежуточные результаты при выводе (7)
и (10) :
и
из этих соотношений видно , что , поскольку и , то всегда
и . То есть , в прошедшей волне изменения фазы не происходит
(причем это верно для волн произвольной поляризации).
Дополнительная литература:
Cивухин Д.В. “Общий курс физики. Оптика” , Москва , “Наука”,1985г.
Савельев И.В. “Курс общей физики” , том 2 , Москва , “Наука” , 1979г.
-----------------------
[1] -здесь под n понимается показатель преломления той среды , куда падает
луч относительно той , откуда он падает , в оптике в этом случае под n
понимают показатель преломления оптически более плотной среды относительно
оптически менее плотной , т.е. в этом случае в этой формуле стоит
[2]-- числитель также не может обращаться в бесконечность , поскольку это
возможно только в случае , но в этом случае , а это невозможно
т.к. и