На
Главную
ГДЗ:
Английский
язык Алгебра Геометрия Физика Химия Русский
язык Немецкий
язык
Подготовка к экзаменам (ЕГЭ) Программы и пособия Краткое содержание Онлайн учебники
Шпаргалки Рефераты Сочинения Энциклопедии Топики с переводами
Все темы:"Рефераты по Математике"
Атомические разложения функций в пространстве Харди .
Міністерство Освіти України
Одеський державний університет
ім. І.І.Мечнікова
Інститут математики, економіки та механіки
Атомічні розкладення функцій
у просторі Харді
Дипломна робота
студентки V курсу
факультету математики
Семенцовой В.А.
Науковий керівник
Вартанян Г.М.
Одеса - 2000
Содержание
Введение....................................................................
................ 3
Глава I. Основные сведения об интеграле Пуассона и
пространствах , и
................................. 8
§I.1. Интеграл
Пуассона..................................................... 8
§I.2. Пространства
....................................................... 12
§I.3. Пространства и
......................................... 17
§I.4. Произведение Бляшке, нетангенциальная
максимальная
функция............................................... 22
Глава II. Атомические разложения функции в пространстве
, пространство
ВМО........................................ 26
§II.1. Пространство , критерий принадлежности
функции из пространству
....................... 26
§II.2. Линейные ограниченные функционалы на ,
двойственность и
ВМО.................................. 32
Литература..................................................................
................ 37
Введение.
Целью настоящей работы является изучение основных понятий и
результатов, полученных в области пространств Харди, которая не изучалась
в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между
следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства , ,
и , раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных
понятий вводится именно в такой последовательности , так как определение
каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее
в выше перечисленном ряду объектов.
Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В
первой главе изучены свойства пространств , , , а во второй
мы доказываем коитерий принадлежности функции из пространству и
двойственность пространств и .
В работе мы рассматриваем случай периодических функций.
Используемые обозначения имеют следующий смысл:
- пространство периодических, непрерывных на функций;
- пространство периодических, бесконечно дифференцируемых на
функций;
- пространство периодических, суммируемых в степени р на
функций, т.е.для которых , ;
- пространство периодических ограниченных на функций;
- носитель функции .
В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона
суммируемой на [-(,(] 2(-периодической комплекснозначной функции
называется функция
(r ( x ) = ,
где , t ( ((((((((((- ядро Пуассона.
Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы
неоднократно будем использовать в ряде доказательств:
а) ;
б) ;
в) для любого (>0
Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении
интеграла Пуассона при :
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -(, ( ) , 1 ( p < ( ,
имеет место равенство
;
если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда
для п.в. .
В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:
Определение1. Функция называется аналитической в точке , если
она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности. Говорят,
что функция аналитична на некотором множестве,если она аналитична в
каждой точке этого множества.
Определение2. Действительная функция двух действительных переменных
называется гармонической в области , если и удовлетворяет
уравнению Лапласа:
.
Определение3. Две гармонические функции и , связанные
условиями Коши-Римана : , , называются гармонически
сопряженными функциями.
Определение4. Под нормой пространства понимается
, .
Определение5. Под нормой пространства понимается
, .
Определение6. Пусть ( или ,). Модуль непрерывности (
соответственно интегральный модуль непрерывности) функции
определяется равенством
, .
(, ).
Определение7. Последовательность функций, определенных на
множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к
функции , если для почти всех , т.е. множество тех
точек , в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.
В §I.2 мы рассматриваем пространства - это совокупность
аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна
норма
.
Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую
функцию () можно предсавить в виде
, , ,
где для п.в. , при этом
;
.
Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих
определениях:
Определение8. Говорят, что действительная функция , заданная на
отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая
постоянная , что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками
выполнено неравенство .
Определение9. Действительная функция , заданная на отрезке
[a,b], называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого
найдется число такое, что какова бы ни была система попарно
непересекающихся интервалов , с суммой длин, меньшей :
, выполняется неравенство .
В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению
пространств и . Пространство () представляет собой
совокупность тех функций , , которые являются граничными
значениями функций (действительных частей функций) из, т.е.
представимы в виде (). Здесь мы получаем следующие результаты:
при пространство совпадает с , а при р=1 уже, чем
, и состоит из функций , для которых и .
В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции ,
аналитической в круге с нулями , () с учетом их
кратности:
,
где - кратность нуля функции при .
Здесь доказывается, что каждая функция представима в виде
, где не имеет нулей в круге и , ,а -
произведение Бляшке функции .
Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции .
Пусть , , - произвольное число. Обозначим через , ,
область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки к
окружности , и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками
касания ( при вырождается в радиус единичного круга). Для
положим
, ,
где - интеграл Пуассона функции . Функция называется
нетангенциальной максимальной функцией для .
Тут же мы доказываем теорему об оценке : если (),
, то и .
Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году
Харди и Литтлвудом.
Во второй главе два параграфа.
В §II.1 рассматривается пространство . Как ранее отмечалось, оно уже,
чем . Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема
- критерий принадлежности функции пространству . Здесь вводится
понятие атома: действительная функция называется атомом, если
существует обобщенный интервал такой, что
а) ; б) ; в) .
Атомом назовем также функцию , . Под обобщенным интервалом
понимается либо интервал из , либо множество вида ().
Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году
Р.Койфманом о том, что функция тогда и только тогда, когда функция
допускает представление в виде
, , где , , - атомы. (*)
При этом , где inf берется по всем разложениям вида (*) функции
, а с и С - абсолютные константы.
Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев
позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с
атомами.
В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству
, легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о
двойственности пространств и . Доказательству этого факта и
посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение :
пространство ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих
условию
, (91)
где , а sup берется по всем обобщенным интервалам . А затем
доказываем теорему о том, что .
Глава I.
Основные сведения об интеграле Пуассона и
пространствах , и
§I.1.Интеграл Пуассона.
Пусть ((x( , g(x) , x(R1 –суммируемые на (-(, (( , 2(- периодические,
комплекснозначные функции. Через f(g(x) будем обозначать свертку
f(g(x) =dt
Из теоремы Фубини следует, что свертка суммируемых функций также
суммируема на (-(,(( и
cn ( f(g ) = cn ( f )( c-n ( g ) ,
n = 0, (1 , (2 , ... ( 1 )
где ( cn ( f )( - коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
cn (f)= -i n tdt ,
n = 0, ((((((((
Пусть ( ((L1 (-((((() . Рассмотрим при ( ( r ((( функцию
(r ( x ) = n ( f ) r((n ( ei n x ,
x ((((((((((( . ( 2 )
Так как для любых x (((((((((((, n = 0, ((((((((, а ряд
сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой
суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности
функций стремятся к нулю при ), то по признаку Вейерштрасса ряд
в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого
фиксированного r , ( ((r ((( . Коэффициенты Фурье функции (r (х(
равны cn ( fr ) = cn (f)( r( n (( , n = 0 , ((((((((((, а это значит,
что (r ( x ( можно представить в виде свертки :
(r ( x ) = ,
( 3 )
где
, t (
((((((((((( ( 4 )
Функция двух переменных Рr (t) , 0 (((r((( , t ((((((((( ( ,
называется ядром Пуассона , а интеграл (3) - интегралом Пуассона .
Следовательно,
Pr ( t ) = , 0(((r ( ( , t (((((((((( .
( 5 )
Если (( L( ( -(( ( ) ( действительная функция , то , учитывая , что
c-n ( f ) = , n = 0((((((((((( из соотношения (2) мы получим :
fr ( x ) =
= ,
( 6 )
где
F ( z ) = c0 ( f ) + 2 ( z =
reix ) ( 7 )
- аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно сходящегося
по х ряда [5]. Равенство (6) показывает, что для любой действительной
функции (( L1( -(, ( ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая
в единичном круге функция
u ( z ) = (r (eix ) , z = reix , 0 (( r (1 , x (
[ -(, ( ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) задается формулой
v (z) = Im F (z) = .
( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге ( z (((((((((
( ((( ( функция и ( (x) = u (eix) , x(((((, ( ( . Тогда
u (z) = ( z = reix , ( z ( ( ( )
( 10 )
Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10)
достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
=, ( z ( (
(+ ( .
Но тогда коэффициенты Фурье функции связаны с коэффициентами Фурье
функции следующим образом :
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции (r (x) при r(( , отметим
некоторые свойства ядра Пуассона:
а) ;
б) ;
(11)
в) для любого (>0
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б)
достаточно положить в (2) и (3) ( (х( ( (.
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -(, ( ) , 1 ( p < ( ,
имеет место равенство
;
если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то
.
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
. ( 12 )
Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и
положительностью ядра Пуассона , находим
.
Следовательно,
.
Для данного ( ( ( найдем ( = ( (() такое, что . Тогда для r ,
достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим оценку
.
Аналогично, второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа",
которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
ОпределениеI.1.
Пусть функция , суммируема на любом интервале (a,b), a 0
, .
Теорема 2 (Фату).
Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда
для п.в. .
Доказательство.
Покажем, что для и
,
( 13 )
где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f
(x)*). Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
(К - абсолютная константа).
Пусть - такое число, что
.
Тогда для
.
Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора .
Используя его, найдем такую последовательность функций ,что
,
( 14 )
для п.в. .
Согласно (13) при x( (-((()
Учитывая , что по теореме 1 для каждого x( [-(( (] и (14)
из последней оценки получим
при r(1.
Теорема 2 доказана.
Замечание1.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем
позже, можно показать, что для п.в. x( [-(( (] , когда точка reit
стремится к eix по некасательному к окружности пути.
§I.2.Пространства Hp.
Определение I.3.
Пространство - совокупность аналитических в единичном круге функций F
(z) , для которых конечна норма
.
(15)
Пусть комплекснозначная функция удовлетворяет условиям
(16)
тогда функция F (z) , определенная равенством
(17)
принадлежит пространству , причем
.
(18)
Действительно, аналитичность функции F (z) следует из (16) и
равенства (2). Кроме того, в силу неравенства мы имеем
(()
С другой стороны , по теореме 1 ( а при р=( в силу теоремы 2)
. Отсюда ((()
Учитывая (() и ((() , получим (18).
Ниже мы докажем, что любую функцию можно представить в
виде (17). Для этого нам потребуется
Теорема 3.
Пусть комплекснозначная функция ( (t) имеет ограниченную вариацию на
[ -(((] и
(19)
Тогда ( (t) абсолютно непрерывна на [-(((].
Замечание2.
В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по
комплекснозначной функции ограниченной вариации ( (t) . Мы говорим, что
( (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна),
если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную
вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл
определен для каждой непрерывной на [-(((] функции f (t) , а также если
- характеристическая функция замкнутого множества .
Доказательство теоремы 3.
Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества ,
,
(20)
Для этой цели убедимся, что справедлива
Лемма 1.
Пусть F - замкнутое, а V - открытое множества , причем и
. Тогда для всякого , существует функция вида
, (21)
обладающая свойствами:
а) ;
б) ;
(22)
в) .
Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.
Пусть , где - конечная или бесконечная последовательность
дополнительных интервалов множества F, и для
.
Очевидно, что - открытое множество и .
Рассмотрим для данных функцию , построенную в лемме 1 для
числа ( и множества . Тогда нетрудно проверить[3], что если
, а , то разность
. (23)
Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье
бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)
,
и мы получаем равенство (20).
Перейдем к доказательству леммы 1. Нам понадобится
ОпределениеI.4.
Средние Фейера - это средние вида
, где , , - ядро Дирихле,
, - ядро Фейера.
Отметим, что при ядро Фейера обладает следующими свойствами:
а) , ; б) ,
Мз которых вытекает, что для и
,
Также известно [3], что средние Фейера равномерно сходятся к .
Пусть f(t) - непрерывная на [-(, (] функция, для которой
и
Так как средние Фейера равномерно сходятся к и
, то существует тригонометрический полином
(24)
такой, что
(25)
Пусть . Рассмотрим для каждого ((( такую функцию , что
,
(функцию можно построить следующим образом: взять замкнутое
множество с мерой , достаточно близкой к 2(, и положить
).
Так как (здесь число m то же, что в (24)), то для
достаточно малых ((( функция удовлетворяет соотношениям
(26)
При этом , если . Тогда средние Фейера функции h(t)
имеют вид
и при достаточно большом N
(27)
Положим
, (28)
Так как h(t) - действительная функция, то , n=(((((((((. Поэтому
и . (29)
Определим искомую функцию g(t) :
Ясно, что , а из (24) и (28) следует, что при n<0, т.е.
(30)
В силу соотношений (25), (27) и (29) для
,
а для
.
Наконец, для любого
.
Таким образом, функция g(t) обладает всеми нужными свойствами (22). Лемма1
, а вместе с ней и теорема 3 доказаны.
Теорема 4.
Пусть функция . Тогда для п.в. существует предел
(31)
При этом
1) , , ;
2) ;
3) .
Доказательство:
Нам достаточно доказать, что для каждой функции найдется функция
такая, что имеет место 1). Действительно, если , то тем более
и из 1) и теоремы 2 вытекает справедливость равенства (31) для п.в.
. При этом и по теореме 1
. Наконец, из 1) следует, что
а тогда
.
Пусть . Для построения искомой функции положим
, , .
Функции , , имеют равномерно ограниченную по r вариацию на
:
.
Следовательно, по теореме Хелли [2] найдутся функция ограниченной вариации
и последовательность , такие, что в каждой точке и
(32)
для любой функции . При этом для n=1,2,...
(мы учли аналитичность функции F(z) в единичном круге) и , следовательно,
по теореме 3 абсолютно непрерывна : существует функция , для
которой
,
Тогда
, (33)
Зафиксируем число . Функция , аналитична в круге ,
поэтому согласно утверждению 1
, .
В пределе при из последнего равенства вытекает, что
, , .
Равенство 1) , а вместе с ним и теорема 4 доказаны.
§I.3.Пространства и .
Обозначим через класс тех функций , , которые
являются граничными значениями функций из , т.е. представимы в виде
для п.в. , .
В силу пунктов 3) и 2) теоремы 4 и каждая функция
удовлетворяет условию (16). С другой стороны, выше мы доказали, что для
произвольной с условием (16) интеграл Пуассона (17) определяет
функцию из . Следовательно,
. (34)
Из (34) вытекает, что (замкнутое) - подпространство пространства
, а - банахово пространство с нормой (15).
Пусть . Положим
,
, (35)
ОпределениеI.5.
Если функция , то сопряженной к ней функцией называется функция
, ,
где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. как предел при
интегралов .
В дальнейшем нам понадобится
Утверждение2.
Для любой функции сопряженная функция существует и конечна п.в.
на ; при этом
а) , y>0;
б) если , , то и .
Теорема 5.
Следующие условия эквивалентны :
а) ;
б) , , , ;
в) ;
г) , где - такая действительная функция, что ее
сопряженная также принадлежит пространству :
. (36)
Доказательство:
Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а
эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2.
Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в
случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :, имеют место
равенства
, (37)
Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что
, , ,
. Следовательно, равенства (37) выполняются, если - произвольный
тригонометрический полином.
Пусть фиксировано. Для произвольной функции и положим
, ,
где , , .
Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из
следующих свойств функций (наличие этих свойств мы установим ниже):
1) , , ;
2) при функции , , сходятся по мере к
;
3) , , ,
где С - абсолютная константа.
Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).
Легко видеть, что , где , поэтому из 2) вытекает сходимость
по мере последовательности функций ,:
по мере . (38)
Для произвольного найдем тригонометрический полином такой, что
, . (39)
Тогда согласно 3)
(40)
и при
. (41)
Так как - полином, то и
. (42)
Учитывая, что , и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим ,
,
что вместе с (38) доказывает равенство (37).
Докажем теперь, что для произвольной функции справедливы соотношения
1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как .
Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное и представим функцию в
виде
, , . (43)
Из непрерывности функции легко следует, что
равномерно по . Поэтому при достаточно больших с учетом (43)
мы будем иметь
, (44)
Кроме того, в силу 1) и (43)
;
из этого неравенства и (44) вытекает, что при
.
Для доказательства оценки 3) заметим, что
,
где . Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции и
учитывая, что , получим 3).
Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме
5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать,
что из в) вытекает г).
Пусть (,,) и
. Тогда по теореме 4 , и надо доказать только, что
для п.в. .
Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что
при и
, .
С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого ,
, .
(45)
Согласно теореме 1
. (46)
Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости () следует
сходимость по мере функций к . Таким образом,
по мере (),
а потому , учитывая (46), для п.в. .
Теорема 5 доказана.
Следствие 1.
а) Если , то ;
б) если и , то ;
в) если , , , , то
. (47)
Доказательство.
Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в
теореме 5.
Чтобы получить в), положим
,
.
Согласно теореме 5 , , а следовательно, . Но тогда (для
п.в. ) , и из определения класса мы получим, что
. (48)
Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).
Замечание 3.
Если , то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство
совпадает с . Для р=1 это не так. Пространство уже, чем ,
и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций , для которых и .
- банахово пространство с нормой
. (49)
Полнота с нормой (49) следует из утверждения 2 и полноты
пространства : если при , то , , , и так
как по мере при , то и при .
Замечание 4.
Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае,
когда , , , .
Отметим также, что, взяв в (47) вместо функцию и учитывая б),
мы получим
, если . (50)
§I.4.Произведение Бляшке,
нетангенциальная максимальная функция.
Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно
различных) - удовлетворяет условию
, , . (51)
Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)
. (52)
Для фиксированного , , при имеет место оценка
. (53)
Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52)
сходится абсолютно и равномерно в круге , т.е. функция
аналитична в единичном круге и имеет нули в точках , , и только
в этих точках. При этом, пользуясь неравенством ( , ), мы
находим
, . (54)
Допустим теперь, что () - нули некоторой функции с ,
причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51)
сходится. Положим
,
Функция () аналитична в круге радиуса больше единицы, и ,
если . Следовательно, и согласно п.3 теоремы 4 . Но
тогда
и
, (55)
Так как , , то из (55) вытекает сходимость произведения , а
значит, и сходимость ряда (51).
ОпределениеI.6.
Пусть - аналитическая в круге функция и , () -
ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также - кратность
нуля функции при . Произведение
(56)
называется произведением Бляшке функции .
Справедлива
Теорема 6.
Каждая функция представима в виде
,
где не имеет нулей в круге и
, ,
а - произведение Бляшке функции .
Доказательство.
Пусть , () - нули функции ( или, что то же самое,
нули функции ) Тогда, как отмечалось выше, - аналитическая в
круге функция и
, . (57)
При этом функция также аналитична в единичном круге, не имеет в нем
нулей и .
Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения
(56):
, , .
Так как для любого , то по теореме 4
и
, если .
Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что
() равномерно по , мы получим
, ,
т.е. , .
Теорема 6 доказана.
ОпределениеI.7.
Пусть , , - произвольное число. Обозначим через , ,
область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки к
окружности , и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками
касания ( при вырождается в радиус единичного круга). Для
положим
, ,
где - интеграл Пуассона функции . Функция называется
нетангенциальной максимальной функцией для .
В силу теоремы 2
для п.в. . (58)
Установим, что для произвольной функции величина не
превосходит (по порядку) значения максимальной функции *) в точке х,
т.е.
, . (59)
Нам понадобится
утверждение 3.
а) если функция , то для любого
;
б) если функция , то ,
где - постоянная, зависящая только от числа р.
Пусть и . По определению интеграла Пуассона
Положим . Тогда будем иметь
и, в силу неравенства , , и периодичности ,
. (60)
Так как обе функции и положительны при и
отрицательны при ( из (5)), то, предполагая без ограничения
общности, что , мы получим
. (61)
Для имеют место оценки
,
.
Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить,
что
при , (62)
если . Пусть , тогда
.
В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения
3 вытекает, что для любой функции , ,
, (63)
где - постоянная, зависящая только от .
Теорема 7.
Пусть (), и
, .
Тогда и
. (64)
Доказательство.
Утверждение теоремы 7 в случае, когда , есть прямое следствие оценки
(63) и теоремы 4. Пусть теперь . По теореме 6 , где ,
, если и . Из функции можно извлечь корень:
существует функция такая, что , и, следовательно из (64) при
р=2, получим
.
Оценка снизу для вытекает из (58).
Теорема 7 доказана.
Глава II. Атомические разложения функции
в пространстве , пространство ВМО.
§II.1.Пространство , критерий принадлежности функции из
пространству .
Рассмотрим () - пространство функций , являющихся
граничными значениями действительных частей функций из пространства :
для п.в. , . (65)
Ранее мы доказали, что
, , (66)
и что - банахово пространство с нормой
; (67)
при этом, если в (65) , то
() . (68)
В замечании 3 уже говорилось о том, что при пространство
совпадает с пространством и из утверждения 2 следует, что
().
Последнее соотношение теряет силу при - нетрудно проверить, что при
,
где
и, следовательно, существует функция , для которой . Таким
образом, - собственное подпространство в . Ниже мы дадим
критерий принадлежности функций к пространству .
ОпределениеII. 8.
Множество мы будем называть обобщенным интервалом, если - дуга
на единичной окружности, т.е. - либо интервал из , либо
множество вида
(). (69)
Точку назовем центром обобщенного интервала , если - центр
дуги . Длиной обобщенного интервала естественно назвать величину
Определение II.9.
Действительную функцию назовем атомом, если существует обобщенный
интервал такой, что
а) ;
б) ;
в) .
Атомом назовем также функцию , .
Теорема 8.
Для того, чтобы выполнялось включение: , необходимо и достаточно,
чтобы функция допускала представление в виде*)
, , (70)
где , , - атомы. При этом
, (71)
где inf берется по всем разложениям вида (70) функции , а с и С
- абсолютные константы.
Доказательство.
Достаточность.
Пусть для функции нашлось разложение вида (70). Покажем, что и
. Для этого достаточно проверить, что для любого атома имеет
место неравенство
. (72)
Пусть - такой обобщенный интервал, что
, , (73)
(случай тривиален). Так как , то нам остается доказать, что
. (74)
Для любого измеримого множества , применяя неравенство Коши и
пользуясь утверждением 2 и соотношениями (73), мы находим
, (75)
откуда сразу вытекает (74), в случае, когда .
Допустим теперь, что , и обозначим через обобщенный интервал
длины с тем же центром, что и . Из (75) следует, что
.
Нам остается оценить интеграл . Мы воспользуемся очевидным
неравенством
, ,
где - длина наименьшей из двух дуг единичной окружности, соединяющих
точки и , а - абсолютная постоянная. В силу (73) при
мы имеем
где - центр обобщенного интервала . Из последнего
соотношения, учитывая, что и , мы находим
, , где .
Следовательно,
.
Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны.
Необходимость.
Построим для данной функции разложение (70), для которого
.
Пусть функция с такова, что выполнено соотношение (65), и
пусть () - нетангенциальная максимальная функция для , т.е.
, , (75')
где - область, ограниченная двумя касательными, проведенными из точки
к окружности , и наибольшей дугой окружности , заключенной
между точками касания.
Теорема 7 утверждает, что , поэтому нам достаточно найти такое
разложение функции на атомы (70), что
, (76)
где постоянные С и () не зависят от . Для построения
разложения (70) с условием (76) фиксируем число : пусть, например,
. Не ограничивая общности, мы можем считать, что
. (77)
Рассмотрим на отрезке множества
, , (78)
Так как при любом множество точек единичной окружности открыто,
то ясно, что при множество (если оно непустое) представимо
(единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:
, при , , . (79)
Положим и при
(80)
Так как конечна для п.в. , то из определения функций ,
, следует, что для п.в. при , а значит, для
п.в.
.
Отсюда, учитывая, что , а следовательно из (80), при , мы
находим, что
, (81)
где - характеристическая функция множества . Из (81), учитывая,
что , мы для функции получаем следующее разложение:
для п.в. , (82)
где
, , (83)
С помощью функций мы и построим нужное нам разложение вида (70).
Прежде всего отметим, что при ,
, . (84)
Докажем теперь, что для п.в.
, , (85)
где постоянная зависит только от числа , зафиксированного нами
ранее.
Так как из (65) и (75') для п.в. , то из (77) следует, что
.
Пусть теперь , - один из обобщенных интервалов в представлении
(79), тогда из (77) и (78) , и если , - концевые точки
дуги () , то , а значит,
, . (86)
Из неравенств (86) согласно (75') следует, что
при . (87)
Легко видеть (учитывая, что и ) , что множества и
пересекаются в одной точке:
с , . (88)
Пусть , , - отрезок, соединяющий точки и . Так как
, , то из непрерывности функции при и неравенства
(87) вытекает, что , если , , и . Поэтому , учитывая
(88)
, ,, . (89)
|Рассмотрим область , | |
|ограниченную | |
|отрезками и и дугой| |
|; | |
|пусть, далее, для | |
| , | |
|, . | |
По теореме Коши [5] .
Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги справедливо равенство
,
мы получим
.
Но в силу теорем 4 и 5
, ,
и так как , , то мы находим, что
. (89')
Легко видеть, что отношение ограничено сверху числом, зависящим
только от (, поэтому
, . (90)
Так как , то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для ,
, справедливо неравенство (85). Для п.в. неравенство (85) сразу
следует из определения функций и множеств .
Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что , а это значит, что
функции
, , ,
являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем
разложение функции на атомы:
для п.в. ,
где , .
Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая
равенство (77), имеем
.
Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.
§II.2. Линейные ограниченные функционалы на , двойственность и
ВМО.
Дадим описание пространства , сопряженного к банахову пространству
. Нам потребуется
Определение II.10.
Пространство ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих
условию
, (91)
где , а sup берется по всем обобщенным интервалам .
Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой
. (92)
Ясно, что . В то же время ВМО содержит и неограниченные функции.
Нетрудно проверить, например, что функция .
Теорема 9.
, т.е.
а) если , и для произвольной функции рассмотреть ее разложение
на атомы (по теореме 8):
, , , - атомы*) (93)
и положить
, (94)
то сумма ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и
задает ограниченный линейный функционал на ;
б) произвольный ограниченный линейный функционал на представим
в виде (94), где . При этом
(С, С1 - абсолютные постоянные).
Лемма 2.
Пусть функция такова, что для любого обобщенного интервала
найдется постоянная , для которой
,
где М не зависит от . Тогда и .
Доказательство.
Для любого обобщенного интервала мы имеем
,
откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.
Следствие 2.
Если , то и
. (95)
Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что
для произвольного обобщенного интервала .
Доказательство теоремы 9.
а) Пусть . Положим
Так как всегда , то, учитывая равенства
, ,
,
мы с помощью следствия 2 находим
, (96)
Допустим, что ( по утверждению 2 и (66)). По теореме 8 существует
разложение
, , (97)
где функции являются атомами и , и при
, , . (98)
Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при
.
Отсюда, учитывая, что функции , , по модулю не превосходят
суммируемой функции и для п.в. , мы получим, что
.
Таким образом, равенством
, , (99)
определяется ограниченный линейный функционал на всюду плотном в
линейном многообразии (плотность функций из в вытекает из
теоремы 8, так как для всякой функции частные суммы разложения (70)
сходятся к по норме , и, очевидно, принадлежат пространству
). Поэтому функционал можно единственным образом продолжить на
все пространство :
, . (100)
Остается доказать, что для любого разложения вида (93) функции ряд
(94) сходится и его сумма равна . Последнее сразу следует из (99) и
сходимости ряда (93), по норме к :
.
б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на . Тогда
из теоремы 4.1 и (67) для любой функции
(С - абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный линейный
функционал на , а следовательно, найдется функция с
, (101)
для которой
, . (102)
В частности, равенство (102) выполняется, если - произвольный атом.
Докажем, что
. (103)
Пусть I - произвольный обобщенный интервал, - произвольная функция с
. Тогда функция
, ,
является атомом и в силу теоремы 8 . Поэтому
.
Подбирая в последнем неравенстве функцию оптимальным образом, мы
получим, что для любого обобщенного интервала I
,
что с учетом соотношения доказывает оценку (103).
Таким образом, для значение функционала совпадает со значением
ограниченного линейного функционала на элементе (см. (99) и уже
доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство плотно в
, то, следовательно,
для любой функции .
Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9.
Литература
1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.
3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа — М.:
Наука, 1988. —815с.
4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды —М.: Гос. издательство физико-
математической литературы, 1961. —936с.
5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций - М.: Наука,
1978. — 415с.
6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.
7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа — М.: Наука,
1964.—т.2,—463с.
8. Вартанян Г.М. Аппроксимативные свойства и двойственность некоторых
функциональных пространств — Одесса, 1990 —111с.
*) Мы считаем , что f (x) = 0 , если (x( ( ( .
*) Так как функция определялась для функций , заданных на ,
то мы дополнительно полагаем , если ; при и при
.
*) В силу условий а) и в) в определении 9 , , поэтому ряд (70)
сходится по норме пространства и п.в.
*) Возможен случай, когда при .
