На
Главную
ГДЗ:
Английский
язык Алгебра Геометрия Физика Химия Русский
язык Немецкий
язык
Подготовка к экзаменам (ЕГЭ) Программы и пособия Краткое содержание Онлайн учебники
Шпаргалки Рефераты Сочинения Энциклопедии Топики с переводами
Все темы:"Рефераты по Математике"
Аркфункции .
Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования
элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные
тригонометрические функции.
Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить
их графики.
Решение: Рассмотрим 1-ю функцию
y = arcsin(1/x)
Д(f): | 1/x | ? 1 ,
| x | ? 1 ,
( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )
Функция нечетная
( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;?/2] )
Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є
[-?/2; ?/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда
y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)
Д(f): ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )
Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).
Решение:
Д(f): [-1;1]
Четная
f(x) убывает на пр. [0;1]
f(x) возрастает на пр. [-1;0]
Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).
Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2
f(z) убывает на пр. [-1;1] от ? до 0.
f(y) убывает на пр. [-1;1] от ?2 до 0.
Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))
Решение:
Д(f): ( - ? ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +? )
Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:
[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +? )
|X |0 |< x |1 |< x |+? |
| | |< | |< | |
|u=1/(x2-1|-1 |? |+ ? |? |0 |
|) | | |- ? | | |
|y=arctg(u|- |? |?/2 |? |0 |
|) |?/4 | |- ?/2| | |
Тригонометрические операции над аркфункциями
Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются
алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-
либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается
алгебраическое выражение.
В силу определения аркфункций:
sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x
(справедливо только для x є [-1;1] )
tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x
(справедливо при любых x )
Графическое различие между функциями, заданными формулами:
y=x и
y=sin(arcsin(x))
Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших
тригонометрических операций над аркфункциями.
|Аргумент |arcsin(x) |arccos(x) |arctg(x) |arcctg(x) |
| | | | | |
|функция | | | | |
|sin |sin(arcsin(x))=| | | |
| |x | | | |
|cos | |x | | |
|tg | | |x |1 / x |
|ctg | | |1 / x |x |
Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи
рассуждений, приведенных ниже:
1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и ? = arcsin(x)
Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга
принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой
косинус неотрицательный.
Значит, имеем
2. Из тождества следует:
3. Имеем
4.
Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством
выведения формул.
Пример №1. Преобразовать выражение
Решение: Применяем формулу , имеем:
Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость
тождеств:
Пример №3. Пользуясь ...
Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:
Пример №5. Положив в формулах
, и
, получим:
,
Пример №6. Преобразуем
Положив в формуле ,
Получим:
Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга принадлежит I четверти, а
потому левая часть неотрицательная.
Соотношения между аркфункциями
Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими
из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.
Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:
Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие
из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того
же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования
одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).
Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же
полуокружности.
Пусть, например, рассматривается дуга ?, заключенная в интервале (-
?/2; ?/2).
Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде
арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sin? и заключена,
так же как и ?, в интервале (-?/2; ?/2), следовательно
Аналогично можно дугу ? представить в виде арктангенса:
А если бы дуга ? была заключена в интервале ( 0 ; ? ), то она могла бы
быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:
Так, например:
Аналогично:
Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых
содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).
1. Выражение через арктангенс.
Пусть , тогда
Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и
расположена в интервале (-?/2; ?/2).
Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-?/2;
?/2).
Следовательно,
(1)
(в интервале ( -1 : 1 )
2. Выражение через арксинус.
Т.к. , то (2)
в интервале
3. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует
тождество
(3)
Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в
различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и
арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение
тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция
(дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи
любой аркфункции; так, например,
Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть
выражена посредством любой другой аркфункции.
Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит
либо промежутку от -?/2 до 0, либо промежутку от ?/2 до ? и не может быть
представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из
этих двух) промежутку.
Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом
случае
Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых
выбираются в различных полуокружностях.
4. Выражение арксинуса через арккосинус.
Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а
поэтому
При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом
случае
, а для функции имеем:
так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень , т.е.
число неотрицательное.
Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:
Х>0 X<0
При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и
Таким образом, имеем окончательно:
если , (4)
, если
График функции
Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4),
закон соответствия можно выразить следующим образом:
, если
, если
5. Аналогично установим, что при имеем:
, если же , то
Таким образом:
, если (5)
, если
6. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения
при имеем:
Если же х<0, то
Итак,
, если (6)
, если
7. Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то
При имеем:
Итак,
, если (7)
, если
8. Выражение арктангенса через арккотангенс.
, если х>0 (8)
,если x<0
При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то
.
9. Выражение арксинуса через арккотангенс.
, если (9)
, если
10. Выражение арккотангенса через арксинус.
, если 00 (11)
, если x<0
Примеры:
Пример №1. Исследовать функцию
Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением
значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл).
Воспользовавшись формулой (8) получим:
y= 0 , если x>0
-? , если x<0
На чертеже изображен график
данной функции
Пример №2. Исследовать функцию
Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе – для
тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).
Т.к. , то получаем
,
откуда:
на сегменте [0;1]
Пример №3. Исследовать функцию
Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по
абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех
значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).
Приняв во внимание равенство
, если
, если
получим:
y = 0 , если
, если
Выполнение обратных тригонометрических операций над
тригонометрическими функциями.
При преобразовании выражений вида
следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и
в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим,
например, первое из данных выражений:
Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности
(замкнутая), синус которой равен sin x;
и
Областью определения функции служит интервал , так как при
всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента
содержится на сегменте . При произвольном действительном х
значение y (в общем случае) отлично от значения х.
Так, например, при х=?/6 имеем:
но при х=5?/6
В силу периодичности синуса функция arcsin x также является
периодической с периодом 2?, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте
[-?/2; 3?/2] величиной 2?.
Если значение х принадлежит сегменту [-?/2; ?/2] то y=x, на этом
сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.
Если значение х принадлежит сегменту [?/2; 3?/2], то в этом случае
дуга ?-х принадлежит сегменту [-?/2; ?/2]; и, так как
, то имеем y=?-х;
в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=?-х. Если
значение х принадлежит сегменту [3?/2; 5?/2], то, пользуясь периодичностью
или путем непосредственной проверки, получим:
y=х-2?
Если значение х принадлежит сегменту [-3?/2; -?/2], то
y=-?-х
Если значение х принадлежит сегменту [-5?/2; -3?/2], то
y=х+2?
Вообще, если , то
y=х-2?k
и если , то
y=(?-х)+2?k
График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с
бесконечным множеством прямолинейных звеньев.
Рассмотрим функцию
Согласно определению арккосинуса, имеем:
cos y = cos x, где
Областью определения данной функции является множество всех
действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2?. Если
значение Х принадлежит сегменту [0; ?], то y = x. Если х принадлежит
сегменту [?; 2?], то дуга 2?-х принадлежит сегменту [0; ?] и ,
поэтому:
Следовательно, на сегменте [?; 2?] имеем y = 2? - x
Если х принадлежит сегменту [2?; 3?], то y = x - 2?
Если х принадлежит сегменту [3?; 4?], то y = 4? – x
Вообще, если , то y = x - 2?k
Если же , то y = -x + ?k
Графиком функции является ломаная линия
Формулы сложения
Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или
нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма
аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую
операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена
посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних
и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от
промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.
Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.
Примеры.
Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму
Решение: эта сумма является суммой двух дуг ? и ?, где
;
В данном случае (т.к. , а следовательно, ), а также
, поэтому .
Вычислив синус дуги ?, получим:
Т.к. сумма ? заключена на сегменте [-?/2; ?/2], то
Пример №2. Представить дугу ?, рассмотренную в предыдущем примере, в
виде арктангенса. Имеем:
Откуда
Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму
Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга ?
оканчивается во второй четверти, т.к. , а . Вычисляем
В рассматриваемом примере , так как дуги ? и заключены в
различных интервалах,
, а
В данном случае
Пример №4. Представить дугу ?, рассмотренную в предыдущем примере, в
виде арккосинуса.
Решение: имеем
Обе дуги ? и расположены в верхней полуокружности и имеют
одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны:
Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи
произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы
сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных
рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения,
по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих
случаях.
Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.
Пусть ? и ? – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до ?/2 (первая
четверть):
, и
Сумма ? + ? заключена в верхней полуокружности , следовательно,
ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том
же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:
;
Разность ? – ? заключена в правой полуокружности:
Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в
виде арктангенса:
;
Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента
заключено в интервале (0; ?/2) то сумму двух аркфункций от положительных
аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде
арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно
представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.
Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.
1. Преобразуем в арккосинус , где и
Имеем:
Откуда
2. Аналогично
, где 0 < x < 1, 0 < y < 1
, где 0 < x < 1, 0 < y < 1
Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.
1. Выразить сумму через арксинус
По определению арксинуса
и ,
откуда
Для дуги ? возможны следующие три случая:
Случай 1:
Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет
место случай 1.
В самом деле, при и , имеем:
, и ,
откуда
При x > 0, y > 0 для дуги ? имеет место одна из следующих двух систем
неравенств:
а) б)
Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от
другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:
в случае а) и в случае б)
В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б)
влекут за собой взаимно исключающие следствия и
(соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и
достаточными признаками наличия данных соотношений.
Вычислив , получим:
При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а)
т.е. или
Откуда
и, следовательно,
Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств
;
но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а
потому
или
Случай 2.
В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из
условия получим
Случай 3.
Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и
Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:
откуда
Дуги ? и имеют одинаковый синус, но (по определению
арксинуса) , следовательно в случае 1 ;
в случае 2 и в случае 3 .
Итак, имеем окончательно:
, или
; x > 0, y > 0, и (1)
; x < 0, y < 0, и
Пример:
;
2. Заменив в (1) x на –x получим:
, или
; x > 0, y > 0, и (2)
; x < 0, y < 0, и
3. Выразить сумму через арккосинус
и
имеем
Возможны следующие два случая.
Случай 1: если , то
Приняв во внимание, что обе дуги и расположены в промежутке
[0;?] и что в этом промежутке косинус убывает, получим
и следовательно, , откуда
Случай 2: . Если , то
,
откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим .
Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если ,
а случай 2, если
.
Из равенства следует, что дуги
и имеют одинаковый косинус.
В случае 1 , в случае 2 , следовательно,
,
, (3)
4. Аналогично
,
, (4)
пример:
5.
; xy < 1
; x > 1, xy > 1 (5)
; x < 0, xy > 1
При xy=1 не имеет смысла
6.
; xy > -1
; x > 0, xy < -1 (6)
; x < 0, xy < -1
7.
;
; (7)
;
8.
; (8)
;
9.
;
; x > 1 (9)
; x < -1
10. (10)
(11)
, если (12)
, если
-----------------------
?/2
-?/2
0
1
-1
-1
1
0
x
?/2
y
x
y
y
x
-1
1
0
?/2
?
y
x
-1
1
0
y
x
-?/4
-1
1
0
-?/2
?/2
x
y
0
0
y
x
1
-1
x
y
1
-1
arcsin(x)
arccos(x)
1
-1
X
Y
-?
?
X
Y
-?
?
0
Х
Y