Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры .

Министерство общего и профессионального образования Российской
федерации.
Уральский Государственный Технический Университет - УПИ.

Реферат

ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ.

Выполнил:
Студент группы Х-149
Покровский П.В.

Проверил:
Преподаватель кафедры ВМ и УМФ
Пироговская Л. М.

Екатеринбург.
1999.

1. Координаты центра тяжести.

Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек
P1(x1,y1); P2(x2,y2); ... , Pn(xn,yn)
c массами m1,m2,m3, . . . , mn.
Произведения ximi и yimi называются статическими моментами массы mi
относительно осей Oy и Ox.
Обозначим через xc и yc координаты центра тяжести данной системы.
Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы
определяются формулами:

Эти формулы используются при отыскании центров тяжести различных
фигур и тел.

2. Центр тяжести плоской фигуры.

Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x), x=a,
x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною
плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать
постоянной и равной ( для всех частей фигуры.
Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, . . . , x=xn=b на полоски
ширины (x1, (x2, . . ., (xn. Масса каждой полоски будет равна
произведению ее площади на плотность (. Если каждую полоску
заменить прямоугольником (рис.1) с основанием (xi и высотой f2(()-
f1((), где (, то масса полоски будет приближенно равна
(i = 1, 2, ... ,n).
Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре
соответствующего прямоугольника:

Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой
равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести
этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:

Переходя к пределу при , получим точные координаты центра
тяжести данной фигуры:

Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей
постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно,
координаты центра тяжести не зависят от плотности ( фигуры (в процессе
вычисления ( сократилось).

3. Координаты центра тяжести плоской фигуры

В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести
системы материальных точек P1, P2, . . ., Pn c массами m1, m2, . . .,
mn определяются по формулам

В пределе при интегральные суммы, стоящие в числителях и
знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом
получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести
плоской фигуры:

(*)
Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной
плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую,
постоянную во всех точках плотность (.
Если же поверхностная плотность переменна:

то соответствующие формулы будут иметь вид

Выражения

называются статическими моментами плоской фигуры D относительно
осей Oy и Ox.
Интеграл выражает величину массы рассматриваемой фигуры.
4. Теоремы Гульдена.
Теорема 1.
Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой
вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее,
равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной
центром тяжести дуги.

Теорема 2.
Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не
пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен
произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной
центром тяжести фигуры.

II.Примеры.

1)
Условие: Найти координаты центра тяжести полуокружности X2+Y2=a2,
расположенной над осью Ox.
Решение: Определим абсциссу центра тяжести: ,

Найдем теперь ординату центра тяжести:

2)
Условие: Определить координаты центра тяжести сегмента параболы
y2=ax, отсекаемого прямой, х=а (рис. 2)

Решение: В данном случае поэтому

(так как сегмент симметричен относительно оси Ox)

3)
Условие: Определить координаты центра тяжести четверти эллипса
(рис. 3)

полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1.

Решение: По формулам (*) получаем:

4)
Условие:
Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии .

Решение:
1Так как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр тяжести лежит
на оси Oy, т.е. Xc= 0. Остается найти . Имеем тогда
длина дуги

Следовательно,

5)
Условие:
Пользуясь теоремой Гульдена найти координаты центра тяжести четверти
круга
.
Решение:
При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем
которого равен
Согласно второй теореме Гульдена, Отсюда Центр тяжести
четверти круга лежит на оси симметрии, т.е. на биссектрисе I
координатного угла, а потому

III. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. «Высшая математика в
упражнениях и задачах», часть 2, «Высшая школа», Москва, 1999.
2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления для
втузов», том 2, «Наука», Москва, 1965