Алгебра и Начало анализа .

|Алгебра и начала анализа.                                                |
|1. Линейная функция y = ax + b, её свойства и график.         |Отве|
|                                                                   |т   |
|2. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, её свойства и       |Отве|
|график.                                                            |т   |
|3. Функция y = k/x, её свойства и график, график              |Отве|
|дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре).                  |т   |
|4. Показательная функция y = ax, её свойства и график.        |Отве|
|                                                                   |т   |
|5. Логарифмическая функция y = logax, её свойства и график.   |Отве|
|                                                                   |т   |
|6. Функция y = sin(x), её свойства и график.                  |Отве|
|                                                                   |т   |
|7. Функция y = cos(x), её свойства и график.                  |Отве|
|                                                                   |т   |
|8. Функция y = tg(x), её свойства и график.                   |Отве|
|                                                                   |т   |
|9. Функция y = ctg(x), её свойства и график.                  |Отве|
|                                                                   |т   |
|10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов          |Отве|
|арифметической прогрессии.                                         |т   |
|11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов          |Отве|
|геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей              |т   |
|геометрической прогрессии.                                         |    |
|12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a,      |Отве|
|sin(x) < a.                                                        |т   |
|13. Решение уравнения cos(x) = a, неравенств cos(x) > a,      |Отве|
|cos(x) < a.                                                        |т   |
|14. Решение уравнения tg(x) = a, неравенств tg(x) > a, tg(x) <|Отве|
|a.                                                                 |т   |
|15. Формулы приведения (с выводом).                           |Отве|
|                                                                   |т   |
|16. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух аргументов|Отве|
|(с доказательством).                                               |т   |
|17. Тригонометрические функции двойного аргумента.            |Отве|
|                                                                   |т   |
|18. Тригонометрические функции половинного аргумента.         |Отве|
|                                                                   |т   |
|19. Формулы суммы и разности синусов, косинусов (с            |Отве|
|доказательством).                                                  |т   |
|20. Вывод формулы корней квадратного уравнения, теорема Виета.|Отве|
|                                                                   |т   |
|21. Логарифм произведения, степени, частного.                 |Отве|
|                                                                   |т   |
|22. Понятие производной, ее геометрический смысл и физический |Отве|
|смысл.                                                             |т   |
|23. Правила вычисления производной.                           |Отве|
|                                                                   |т   |


   1. Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b - некоторые числа,
      называется линейной.
   2. Областью определения линейной функции служит множество R всех
      действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых
      значениях х.
   3. График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения
      графика, очевидно, достаточно двух точек, если k 0.
   4. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с
      положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым
      коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой;
      если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
   5. График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного
      переноса графика функции y = kx.
                                    

Ответ №2. Опр. Квадратичной функцией называется функция, которую можно
задать формулой вида y = ax2 + bx + c, где х - независимая переменная, а, b
и с - некоторые числа, причем а 0.


Графиком квадратичной функции является парабола.


Свойства функции y = ax2(частный случай) при а > 0.


1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.

2. Если х 0, то y > 0. График функции расположен в верхней
полуплоскости.

3. График функции симметричен относительно оси Oy.

4. Функция убывает в промежутке (- ; 0] и возрастает в промежутке [0;
+ ).

5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений
функции [0; + ).


Свойства функции y = ax2 при а < 0.


1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.

2. Если х 0, то y < 0. График функции расположен в нижней
полуплоскости.

3. График функции симметричен относительно оси Oy.

4. Функция убывает в промежутке [0; + ) и возрастает в промежутке (-
; 0].

5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений
функции (- ; 0].


И, так, график функции y = ax2 + bx + n= . Осью симметрии параболы
служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы
направлены вверх, при a < 0 - вниз.
                                    
                                   Ответ 3
Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость
выражается формулой , где - коэффициент обратной
пропорциональности.
   1. Область определения функции - есть множество всех чисел, отличных
      от нуля, т. е. .
   2. Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая
      из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая
      кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены
      в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV
      координатных четвертях.
   3. Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь
      сколь угодно близко к ним приближается.
                                    

№ 4. Опр. Функция, заданная формулой y = ax, где а - некоторое
положительное число, не равное еденице, называется показательной.


1. Функция y = ax при а>1

а) область определения - множество всех действительных чисел;

б) множество значений - множество всех положительных чисел;

в) функция возрастает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если х > 0, то ax > 1;

е) если х < 0, то 0< ax <1;


2. Функция y = ax при 0< а <1

а) область определения - множество всех действительных чисел;

б) множество значений - множество всех положительных чисел;

в) функция убывает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если х > 0, то 0< ax <1;

е) если х < 0, то ax > 1.
                                 
№5.Опр. Функцию, заданную формулой y = loga x называют логарифмической
функцией с основанием а.

Свойства функции y = loga x при a>1:

а) D(f) = R+;

б) E(f) = R;

в) функция возрастает;

г) если x = 1, то loga x = 0;

д) если 0 1, то loga x > 0.

Свойства функции y = loga x при 0 0;

е) если x > 1, то loga x < 0.
                                    
 №6. Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего
острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin
).
   1. область определения - множество всех действительных чисел;
   2. множество значений - [-1; 1];
   3. функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех ;
   4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
   5. sin(x) = 0 при x = ;
   6. sin(x) > 0 для всех ;
   7. sin(x) < 0 для всех ;
   8. функция возрастает на ;
   9. функция убывает на .
                                    
№ 7.Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к
острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается
cos )
   1. область определения - множество всех действительных чисел;
   2. множество значений - [-1; 1];
   3. функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех ;
   4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
   5. cos(x) = 0 при ;
   6. cos(x) > 0 для всех ;
   7. cos(x) > 0 для всех ;
   8. функция возрастает на ;
   9. функция убывает на 
                                    
№8.Опр. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного
треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом
(обозначается tg ).
   1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел
      вида;
   2. множество значений - вся числовая прямая;
   3. функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
   4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
   5. tg(x) = 0 при х = ;
   6. tg(x) > 0 для всех ;
   7. tg(x) < 0 для всех ;
   8. функция возрастает на .
                                    
№9.Опр. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного
треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется
котангенсом (обозначается ctg )
   1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел
      вида ;
   2. множество значений - вся числовая прямая;
   3. функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;

   4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
   5. ctg(x) = 0 при x = ;
   6. ctg(x) > 0 для всех ;
   7. ctg(x) < 0 для всех ;
   8. функция убывает на .
                                    
                                 Ответ № 10
   1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго,
      равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом,
      называется арифметической прогрессией.
   2. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между
      любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т.
      е. а2 - а1 = а3 - а2 = ... = ak - ak-1 = ... . Это число называется
      разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.
   3. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать
      ее первый член а1 и разность d.
   4. Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то
      такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то
      убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все
      ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной
      последовательностью.
   5. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
      Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и
      только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является
      средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е.
      (1)
   6. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-
      1). (2)
   7. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид:
      (3)
   8. Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2),
      то получим соотношение 
   9. Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an
      = a2 + an-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов
      прогрессии, есть величина постоянная.
Ответ № 11
   1. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а
      каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену,
      умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется
      геометрической прогрессией.
   2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого
      ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 =
      b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется
      знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.

   3. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно
      знать ее первый член b1 и знаменатель q.
   4. Если q > 0 (), то прогрессия является монотонной
      последовательностью. Пусть, например, b1= -2, q = 3, тогда
      геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая
      последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между
      собой. В этом случае прогрессия является постоянной
      последовательностью.
   5. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
      Последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и
      только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее
      геометрическое соседних с ним членов, т. е. (1)
   6. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: (2)
   7. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид:
      , (3)
   8. Если в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2),
      то получится соот-ношение. , (4)
   9. Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn
      = b2bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов
      прогрессии, есть величина постоянная.
            Сумма бесконечной геометрической прогресси при 
   1. Пусть (xn) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где и
      . Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель
      которой удовлетворяет условию , называется предел суммы n первых
      ее членов при .
   2. Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда
      верна формула .
№ 12
            Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a
   1. формула для корней уравнения sin(x) = a, где , имеет вид: 

      Частные случаи:
   2. sin(x) = 0, x = 
   3. sin(x) = 1, x = 
   4. sin(x) = -1, x = 
   5. формула для корней уравнения sin2(x) = a, где , имеет вид: x=
      
      Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a
   1. Неравенства, содержащие переменную только под знаком
      тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
   2. При решении тригонометрических неравенств используют свойство
      монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их
      знакопостоянства.
   3. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a
      (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y =
      sin(x).

      sin(x) = 0 если х = ;

      sin(x) = -1, если x = >;

      sin(x) > 0, если ;

      sin(x) < 0, если .
Ответ № 13
              Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a
   1. Формула для корней уравнения cos(x) = a, где , имеет вид: .
   2. Частные случаи:

      cos(x) = 1, x = ;

      cos(x) = 0, ;

      cos(x) = -1, x = 
   3. Формула для корней уравнения cos2(x) = a, где , имеет вид: .

      Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a
   1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a,
      cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y =
      cos(x);
   2. Важным моментом является знание, что:

      cos(x) = 0, если ;

      cos(x) = -1, если x = ;

      cos(x) = 1, если x = ;

      cos(x) > 0, если ;

      cos(x) > 0, если .
                                    № 14
               Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a
   1. Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: .
   2. Частные случаи:

      tg(x) = 0, x = ;

      tg(x) = 1, ;

      tg(x) = -1, .
   3. Формула для корней уравнения tg2(x) = a, где , имеет вид: 
       Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a
   1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a,
      tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y =
      tg(x).
   2. Важно знать, что:

      tg(x) > 0, если ;

      tg(x) < 0, если ;

      Тангенс не существует, если .
   № 15
   1. Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых
      значения тригонометрических функций аргументов , , ,
      , выражаются через значения sin , cos , tg и ctg
      .
   2. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:
|Функция|Аргумент                                                  |
|  |                                                               |


  | | | | | | | | | |sin  |cos
  |cos  |sin  |-sin  |-cos  |-cos  |-sin 
  |sin  | |cos  |sin  |-sin  |-cos  |-cos  |-
   sin  |sin  |cos  |cos  | |tg  |ctg  |-ctg
   |-tg  |tg  |ctg  |-ctg  |-tg  |tg  |
 |ctg  |tg  |-tg  |-ctg  |ctg  |tg  |-tg 
|-ctg  |ctg  | |Для облегчения запоминания приведенных формул
      нужно использовать следующие правила:

   1. a) при переходе от функций углов , к функциям угла
      название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс
      и наоборот;

      при переходе от функций углов , к функциям угла
      название функции сохраняют;

      б) считая острым углом (т. е. ), перед функцией угла
      ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов ,
      , .
Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:

Любая тригонометрическая функция угла 90°n + по абсолютной величине
равна той же функции угла , если число n - четное, и дополнительной
функции, если число n - нечетное. При этом, если функция угла 90°n + .
положительна, когда - острый угол, то знаки обеих функций одинаковы,
если отрицательна, то различны.
   № 16
   1. Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:

      

                 Рис.1                         Рис.2

      Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол и на угол
      (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение
      векторов и . Пусть координаты точки В равны х1 и y1,
      координаты точки С равны х2 и y2. Эти же координаты имеют
      соответственно и векторы и . По определению скалярного
      произведения векторов:

      = х1х2 + y1y2. (1)

      Выразим скалярное произведение через тригонометрические
      функции углов и . Из определения косинуса и синуса следует,
      что

      х1 = R cos , y1 = R sin , х2 = R cos , y2 = R sin
      .

      Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1),
      получим:

      = R2cos cos + R2sin sin =
      R2(cos cos + sin sin).

      С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:

      = cos BOC = R2cos BOC.

      Угол ВОС между векторами и может быть равен -
      (рис.1), - ( - ) (рис.2) либо может отличаться от
      этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos
      BOC = cos ( - ). Поэтому

      = R2 cos ( - ).

      Т.к. равно также R2(cos cos + sin
      sin), то

      cos( - ) = cos cos + sin sin.


      cos( + ) = cos( - (-)) = cos cos(-) +
      sin sin(-) = cos cos - sin sin.

      Значит,

      cos( + ) = cos cos - sin sin.
   2. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:


      sin( + ) = cos( /2 - ( + )) = cos(( /2 -
      ) - ) = cos( /2 - ) cos + sin( /2 -
      ) sin = sin cos + cos sin.

      Значит,

      sin( + ) = sin cos + cos sin.


      sin( - ) = sin( + (-)) = sin cos(-) +
      cos sin(-) = sin cos - cos sin.

      Значит,

      sin( - ) = sin cos - cos sin.
   № 17
                            Формулы двойных углов
Формулы сложения позволяют выразить sin 2, cos 2, tg 2, ctg
2 через тригонометрические функции угла .

Положим в формулах

sin( + ) = sin cos + cos sin ,

cos( + ) = cos cos - sin sin ,

,

.

равным . Получим тождества:
                     sin 2 = 2 sin cos ;

    cos 2 = cos2 - sin2 = 1 - sin2 = 2 cos2 - 1;

                                ; .

№ 18

                        Формулы половинного аргумента
   1. Выразив правую часть формулы cos 2 = cos2 - sin2 через
      одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к
      соотношениям

      cos 2 = 1 - sin2 , cos 2 = 2 cos2 - 1.

      Если в данных соотношениях положить = /2, то получим:

      cos = 1 - 2 sin2 /2, cos 2 = 2 cos2 /2 - 1. (1)
   2. Из формул (1) следует, что

        (2),   (3).
   3. Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим

        (4).
   4. В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в
      какой координатной четверти находится угол /2.
   5. Полезно знать следующую формулу:

      .
№ 19
                 Формулы суммы и разности синусов, косинусов
   Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде
произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое
преобразование, могут быть получены из формул сложения.

   Чтобы представить в виде произведения сумму sin + sin ,
положим = x + y и = x - y и воспользуемся формулами синуса суммы
и синуса разности. Получим:

sin + sin = sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny +
sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.

   Решив теперь систему уравнений = x + y, = x - y относительно x
и y, получим х = , y = .

Следовательно,

      sin + sin = 2 sin cos .

Аналогичным образом выводят формулы:

      sin -sin = 2 cos sin ;

      cos + cos = 2 cos cos ;

      cos + cos = -2 sin sin .
№ 20

Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0, где
, достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям
равенства прибавить . Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы
получаем равносильное уравнение = - q .

Оно отличается от простейшего уравнения x2 = m только внешним видом:
стоит вместо x и - q - вместо m. Находим = . Отсюба х =
- . Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет
два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если < q . Может также
оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если
= q . Возращаемся к обычному виду .

1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна
второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение
корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2 = -р, а х1х2 = q .

2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х1, х2 таковы, что х1 + х2 =
-р и х1х2 = q , то х1 и х2 - корни уравнения x2 + px + q = 0.

№ 21
Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в
которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.

   Формулу (где b > 0, a > 0 и a 1) называют основным
логарифмическим тождеством.

   Свойства логарифмов:
   1. ;
   2. ;
   3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

      .

      Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

      x = , y = .

      Перемножим почленно эти равенства, получаем:

      xy = = .

      Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.
   4. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:

      .

      Ход доказательства аналогичен доказательству п.3
   5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее
      основания:

      .

      При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным
      логарифмическим тождеством.
№ 22
   1. Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения
      приращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда
      последнее стремится к нулю. Это можно записать так: .
   2. Из определения производной следует, что функция может иметь
      производную в точке х0 только в том случае, если она определена в
      некоторой окрестности точки х0, включая эту точку.
   3. Необходимым условием существования производной функции в данной точке
      является непрерывность функции в этой точке.
   4. Существование производной функции f в точке х0 эквивалентно
      существованию (невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0))
      графика, при этом угловой коэффициент касательной равен . В этом
      состоит геометрический смысл производной.
   5. Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость
      изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач
      следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией
      у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как
      скорость, с которой протекает процесс.
№ 23
   1. Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:

      .
   2. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их производные
      дифференцируемы в этой точке и

      .
   3. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, а С - постоянная, то
      функция Cu дифференцируема в этой точке и

      .
   4. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна
      нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в
      точке х0 и

      .