Теория вероятности .

Математический аппарат современной экономики часто используется на основе
традиционной теории вероятности, однако сама теория вероятности основана на
системе аксиом. Для этой теории характерна частотная интерпретация
вероятности события: мы не знаем, каков будет исход данного конкретного
эксперимента, но знаем, какова доля того или иного исхода во множестве всех
возможных исходов эксперимента, многократно поставленного при неизменных
начальных условиях. В теории вероятности предполагается, что случайные
величины распределены по некоторому распределению. В этом случае расчеты
существенно упрощаются. Такое предположение не лишено оснований, скажем,
при планировании инвестиций, при моделировании физических процессов
(существует теорема о том, что среднее от независимых случайных величин,
распределенных по произвольным законам, распределено по Гауссу). Итак, в
своем эссе я рассмотрю случайные величины и функции распределения.
Случайные величины
Определение. Пусть — произвольное вероятностное пространство.
Случайной величиной называется измеримая функция , отображающая
в множество действительных чисел , т.е. функция, для которой
прообраз любого борелевского множества есть множество из -
алгебры .
Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости.
2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала координат до случайно
брошенной в квадрат точки .
Множество значений случайной величины будем обозначать , а образ
элементарного события — . Множество значений может быть
конечным, счетным или несчетным.
Определим -алгебру на множестве . В общем случае -алгебра
числового множества может быть образована применением конечного числа
операций объединения и пересечения интервалов или полуинтервалов вида
(), в которых одно из чисел или может быть равно
или .
В частном случае, когда — дискретное (не более чем счетное) множество,
-алгебру образуют любые подмножества множества , в том числе и
одноточечные.
Таким образом -алгебру множества можно построить из множеств
или , или .
Будем называть событием любое подмножество значений случайной
величины : . Прообраз этого события обозначим . Ясно, что
; ; . Все множества , которые могут быть получены как
подмножества из множества , , применением конечного числа
операций объединения и пересечения, образуют систему событий. Определив
множество возможных значений случайной величины — и выделив
систему событий , построим измеримое пространство . Определим
вероятность на подмножествах (событиях) из таким образом, чтобы
она была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом:
.
Тогда тройка назовем вероятностным пространством случайной величины
, где
— множество значений случайной величины ; — -алгебра
числового множества ; — функция вероятности случайной величины
.
Если каждому событию поставлено в соответствие , то говорят, что
задано распределение случайной величины . Функция задается на
таких событиях (базовых), зная вероятности которых можно вычислить
вероятность произвольного события . Тогда событиями могут быть события
.
Функция распределения и ее свойства
Рассмотрим вероятностное пространство , образованное случайной
величиной .
Определение. Функцией распределения случайной величины называется
функция действительного переменного , определяющая вероятность
того, что случайная величина примет в результате реализации
эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа :
(1)
Там где понятно, о какой случайной величине , или идет речь,
вместо будем писать . Если рассматривать случайную величину
как случайную точку на оси , то функция распределения с
геометрической точки зрения это вероятность того, что случайная точка
в результате реализации эксперимента попадет левее точки .
Очевидно что функция при любом удовлетворяет неравенству .
Функция распределения случайной величины имеет следующие свойства:
2) Функция распределения — неубывающая функция , т.е. для любых и
, таких что , имеет место неравенство .
Доказательство. Пусть и и . Событие, состоящее в том, что
примет значение, меньшее, чем , представим в виде
объединения двух несовместных событий и : .
Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова, или по формуле (1)
, (2)
откуда , так как . Свойство доказано.
Теорема. Для любых и вероятность неравенства вычисляется по
формуле
(3)
Доказательство. Справедливость формулы (3) следует из соотношения (2).
Таким образом, вероятность попадания случайной величины в полуинтервал
равна разности значений функции распределения вычисленных на концах
полуинтервала и .
2) ; .
Доказательство. Пусть и — две монотонные числовые
последовательности, причем , при . Событие состоит в
том, что . Достоверное событие эквивалентно объединению событий
:
; .
Так как , то по свойству вероятностей , т.е. .
Принимая во внимание определение предела, получаем ;
3) Функция непрерывна слева в любой точке ,
Доказательство. Пусть — любая возрастающая последовательность чисел,
сходящаяся к . Тогда можно записать:
На основании аксиомы 3
Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к , то
остаток ряда, начиная с некоторого номера , будет меньше ,
(теорема об остатке ряда)
.
Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию
распределения. Получим
,
откуда или , а это означает, что .
Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция распределения
является 1) неубывающей, 2) непрерывной слева и 3) удовлетворяет
условию и . И, обратно, каждая функция, обладающая свойствами 1),
2), 3), может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной
величины.
Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины больше
действительного числа , вычисляется по формуле .
Доказательство. Достоверное событие представим в виде объединения двух
несовместных событий и . Тогда по 3-1 аксиоме Колмогорова
или , откуда следует искомая формула.
Определение. Будем говорить, что функция распределения имеет при
скачок , если , где и пределы слева и справа
функции распределения в точке .
Теорема. Для каждого из пространства случайной величины
имеет место формула
Доказательство. Приняв в формуле (3) , и перейдя к пределу при
, , согласно свойству 3), получим искомый результат.
Можно показать, что функция может иметь не более чем счетное число
скачков. Действительно функция распределения может иметь не более одного
скачка , скачков — не более 3-х, скачков не более чем .
Иногда поведение случайной величины характеризуется не заданием ее
функции распределения, а каким-либо другим законом распределения, но так,
чтобы можно было получить из этого закона распределения функцию
распределения .