Система Лотка-Вольтерра .

Вариант № 7

Задание:

1. Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров
системы.
2. Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в
зависимости от параметров системы.
3. Исследовать поведение предельных циклов. Доказать их
существование/несуществование.
4. Построить фазовые портреты системы при всех возможных параметрах
системы.
5. Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.

1. Вводим новые переменные x ( Ax, y ( By, t ( Tt и переписываем систему:

2. Нахождение неподвижных точек преобразованной системы

2.1 x=0,y=0 ==> O(0,0)
2.
P
3.
Q

3. Характеристики неподвижных точек
Запишем Якобиан нашей системы

1.
2.
3.

Проведем дополнительное исследование, обозначив на параметрическом
портрете возможные области значений .

а) точка О – сток, как было показано выше;
б) точка Р:

Область 1:
Область 2:
Точка Р – исток (неуст. узел)
Область 3:
Точка Р – седло
в) точка Q:
Область 1:
Область 2:
Область 3:

Точка Q – исток ( неустойчивый узел)
Кроме того, при поиске собственных значений
Якобиана возникает уравнение

Решение уравнения D<0 производилось графически , поскольку
аналитическое решение в этом случае представляется затруднительным. Для
этого использовался математический пакет Maple 6. При фиксированном
значении были рассмотрены точки ()области 3, для которых
проверялось неравенство D<0. Таким образом, как видно из рисунка, в 3-ей
области появляется подобласть 3’. Неравенство D<0 выполняется в области 3 –
3’ , где вещественные части собственных значений будут положительны. В этой
области точка Q превращается в неустойчивый фокус.

Запишем результаты исследования характеристик точек в таблицу:

4.1 Параметрические области системы

Область 1:

4.3 Область 2:

Область 3’ :

4.5 Область 3 – 3’ :

5. Биологическая интерпретация модели.

Данная система представляет собой модель взаимного влияния в природе
двух животных видов – хищников и жертв. Как видно из рисунков, в этой
системе оба вида вымирают. Предельных циклов в системе нет. X – жертвы, Y –
хищники. Динамику взаимодействия двух видов описывают три функции: g(x) –
функция динамики численности жертв, p(x) – трофическая функция жертв
(характеризует число жертв убитых одним хищником), q(x) – трофическая
функция хищников (характеризует влияние числа жертв, убиваемых одним
хищником, на изменение численности популяции хищников).